ჯგუფური სიჩქარე

ფიზიკაში ტალღის ჯგუფური სიჩქარე არის მისი ამპლიტუდის პროფილის (პაკეტის) სივრცეში გავრცელების სიჩქარე.

ღრმა წყლის ზედაპირული გრავიტაციული ტალღების დისპერსიულობის ილუსტრაცია: წითელი წერტილი მოძრაობს ფაზური სიჩქარით, ხოლო მწვანე წერერტილი კი ჯგუფური სიჩქარით. ღრმა წყლის შემთხვევაში ფაზური სიჩქარე ჯგუფურზე ორჯერ მეტია.

ილუსტრაციაზე ჯგუფური სიჩქარე და ფაზის სიჩქარე მოძრაოენ სხვა და სხვა მიმართულებით

განმარტება და ინტერპრეტაცია

განმარტება

მათემატიკურად ჯგუფური სიჩქარე v_g განიმარტება შემდეგი განტოლებით

$v_{g}\ \equiv \ {\frac {\partial \omega }{\partial k}}\,$

სადაც:

ω არის კუთხური სიხშირე;

k არის ტალღური რიცხვი.

თანაფარდობას ω(k), რომელიც განსაზღვრავს ω როგორც k-ს ფუნქციას დისპერსიული თანაფარდობა ეწოდება. თუ ω არის k-ს პროპორციული, მაშინ ჯგუფური სიჩქარე ფაზური სიჩქარის ტოლია. მხოლოდ ასეთ შემთხვევაში შეიძლება შეინარჩუნოს ტალღურმა პაკეტმა გავრცელებისას საწყისი ფორმა სხვა შემთხვევაში ტალღური პაკეტი გავრცელებისას ფორმას შეიცვლის.

ფიზიკური ინტერპრეტაცია

ჯგუფური სიჩქარე ხშირად განიხილება როგორც ტალღის მიერ ენერგიის ან ინფორმაციის გადატანის სიჩქარე. უმეტეს შემთხვევაში ეს მტკიცება საკმაოდ ზუსტია, თუმცა დისიპაციურ გარემოში გავრცელებისას ეს მტკიცება შეიძლება დაირღვეს.

ჯგუფური სიჩქარე კვანტურ მექანიკაში

ალბერტ აინშტაინი იყო პირველი მეცნიერი, რომელმაც ახსნა სინათლის დუალური (ტალღა-ნაწილაკი) ბუნება 1905 წელს. ლუის დე ბროილის ჰიპოთეზის თანახმად ასეთი უალობა ნაწილაკებისთვისაც უნდა იყოს დამახასიათებელი. დე ბროილის ჰიპოთეზის თანახმად ნაწილაკის სიჩქარე უნდა იყოს შესაბამისი მისი ტალღის ჯგუფური სიჩქარის ტოლი. შესაბამისად

$v_{g}={\frac {\partial \omega }{\partial k}}={\frac {\partial (E/\hbar )}{\partial (p/\hbar )}}={\frac {\partial E}{\partial p}}$

სადაც

E არის ნაწილაკის სრული ენერგია;

p არის იმპულსი,

$\hbar$ არის პლანკის მუდმივა.

არარელატივისტური ნაწილაკისთვის გვექნება

${\begin{aligned}v_{g}&={\frac {\partial E}{\partial p}}={\frac {\partial }{\partial p}}\left({\frac {1}{2}}{\frac {p^{2}}{m}}\right)\\&={\frac {p}{m}}\\&=v.\end{aligned}}$

სადაც

$m$ არის ნაწილაკის მასა, ხოლო

$v$ არის მისი სიჩქარე.

ფარდობითობის სპეციალურ თეორიაში კი გვაქვს

${\begin{aligned}v_{g}&={\frac {\partial E}{\partial p}}={\frac {\partial }{\partial p}}\left({\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}\right)\\&={\frac {pc^{2}}{\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}}\\&={\frac {p}{m{\sqrt {(p/(mc))^{2}+1}}}}\\&={\frac {p}{m\gamma }}\\&={\frac {mv\gamma }{m\gamma }}\\&=v.\end{aligned}}$

სადაც

$m$ არის ნაწილაკის უძრაობის მასა;

c არის სინათლის სიჩქარე ვაკუუმში;

$\gamma$ არის ლორენც-ფაქტორი;

v არის ნაწილაკის სიჩქარე.

ნაწილაკის ჯგუფური სიჩქარე არ უნდა აგვერიოს შესაბამის ფაზურ სიჩქარეში, რომელიც მაწილაკის შესაბამისი ტალღის სიგრძისა და სიხშირის ნამრავლის ტოლია. როგორც რელატივისტურ, ასევე არარელატივისტურ კვანტურ მექანიკაში ნაწილაკის აღმწერი ტალღური პაკეტის ჯგუფური სიჩქარე ნაწილაკის გადაადგილების რეალურ სიჩქარეს შეესაბამება.

იხილეთ აგრეთვე

• ტალღა
• ფაზური სიჩქარე

ლიტერატურა

• Tipler, Paul A. (2003), Modern Physics (4th რედ.), New York: W. H. Freeman and Company, ISBN 0-7167-4345-0 223 p.
• Biot, M. A. (1957), "General theorems on the equivalence of group velocity and energy transport", Physical Review 105 (4): 1129–1137,
• Whitham, G. B. (1961), "Group velocity and energy propagation for three-dimensional waves", Communications on Pure and Applied Mathematics 14 (3): 675–691,
• Lighthill, M. J. (1965), "Group velocity", IMA Journal of Applied Mathematics 1 (1): 1–28,
• Bretherton, F. P.; Garrett, C. J. R. (1968), "Wavetrains in inhomogeneous moving media", Proceedings of the Royal Society of London, Series A, Mathematical and Physical Sciences 302 (1471): 529–554,
• Hayes, W. D. (1973), "Group velocity and nonlinear dispersive wave propagation", Proceedings of the Royal Society of London, Series A, Mathematical and Physical Sciences 332 (1589): 199–221,
• Whitham, G. B. (1974), Linear and nonlinear waves, Wiley, ISBN 0471940909