უწყვეტობის განტოლება

უწყვეტობის განტოლება — ფიზიკაში, დიფერენციალური განტოლება, რომელიც აღწერს რაიმე შენახვადი სიდიდის გადატანას, როგორიცაა მასა, მუხტი, ენერგია, იმპულსი და ა. შ.

უწყვეტობის განტოლება არის შენახვის კანონის (უფრო მკაცრი) ლოკალური ფორმა. ქვემოთ განხილული სხვადასხვა სახის უწყვეტობის განტოლებებს ფიზიკის სხვადასხვა დარგებში მსგავსი ფიზიკური აზრი აქვს, რომელიც ასე შეიძლება ჩამოყალიბდეს: ნებისმიერი შენახვადი სიდიდის ოდენობა რაიმე მოცულობაში შეიძლება შემცირდეს მხოლოდ ამ მოცულობის საზღვრებიდან მისი გადინებისა ან შემოდინების შედეგად. შენახვადი სიდიდის ოდენობა არ შეიძლება გაიზარდოს, ან შემცირდეს, ის შეიძლება მხოლოდ გადაადგილდეს ერთი ადგილიდან მერეში.

ნებისმიერ უწყვეტობის განტოლებას აქვს ე.წ. ინტეგრალური ფორმა (ფორმულირება ნაკადის ინტეგრალის მეშვეობით), რომელიც აღწერს შენახვადი სიდიდს დინამიკას რაიმე სასრულ არეში, და დიფერენციალური ფორმა, რომელიც აღწერს სიდიდის დინამიკას რაიმე წერტილში.

ზოგადი ფორმულირება

უწყვეტობის განტოლების ზოგადი სახე ასეთია

${\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {v} =s.\,$

სადაც $\scriptstyle \varphi$ არის რაიმე სიდიდე, $\mathbf {v}$ არის რაღაცა ვექტორული ფუნქცია, რომელიც აღწერს $\scriptstyle \varphi$-ს ნაკადს, ხოლო s აღწერს $\scriptstyle \varphi$-ს გაჩენას (გაქრობას). ეს განტოლება შეიძლება მიღებული იქნას თუ განვიხილავთ $\scriptstyle \varphi$ სიდიდს დინამიკას უსასრულოდ მცირე მოცულობაში. თუ $\scriptstyle \varphi$ შენახვადი სიდიდეა, მაშინ გაჩენის (გაქრობის) ტემპი ნულის ტოლია, და გვაქვს:

${\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {v} =0.\,$

ეს ზოგადი განტოლება შეიძლება გამოყენებული იქნას ნებისმიერი ტიპის უწყვეტობის განტოლების მისაღებად.

ელექტროდინამიკა

ელექტროდინამიკაში უწყვეტობის განტოლება შეიძლება განვიხილოთ, როგორც ემპირიული კანონი, რომელიც აღწერს მუხტის (ლოკალურ) შენახვას, ან ეს განტოლება შეიძლება გამოყვანილი იქნას მაქსველის განტოლებებიდან. ელექტროდინამიკაში უწყვეტობის განტოლება ამტკიცებს, რომ დენის სიმკვრივის დივერგენცია ტოლია მუხტის სიმკვრივის ცვლილების ტემპისა უარყოფითი ნიშნით.

$\nabla \cdot \mathbf {J} =-{\partial \rho \over \partial t}.$

ფიზიკური არსი

დენის სიმკვრივე ახასიათებს მუხტი გადაადგილებას. უწყვეტობის განტოლება ამტკიცებს, რომ თუ მუხტი გამოედინება რაიმე უსასრულოდ მცირე მოცულობიდან (ანუ დენის სიმკვრივის დივერგენცია დადებითია), მაშინ მუხტის რაოდენობა ამ მოცულობაში მცირდება.

ჰიდროდინამიკა

ჰიდროდინამიკაში უწყვეტობის განტოლება არის მასის შენახვის კანონის (ლოკალური) მათემატიკური მათემატიკური ფორმულირება, რომელიც ამტკიცებს, რომ რაიმე მოცულობაში მასის ცვლილება შესაძლებელია მხოლოდ ამ მოცულობიდან ნივთიერების გამოდინების (შედინების) შედეგად. უწყვეტობის განტოლებას აქვს სახე:

${\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0$

სადაც $\rho$ არის სითხის სიმკვრივე, t არის დრო, ხოლო u არის სითხის სიჩქარე. თუ სიმკვრივე ($\rho$) მუდმივია (როგორც ეს არის უკუმშვად სითხეში), მაშინ მასის უწყვეტობის განტოლება კიდევ უფრო მარტივდება:

$\nabla \cdot \mathbf {u} =0$

კვანტური მექანიკა

კვანტურ მექანიკაში ალბათობის შენახვის გამო ასევე არსებობს უწყვეტობის განტოლება. თუ P(x, t) არის ალბათობის სიმკვრივე, მაშინ

$\nabla \cdot \mathbf {j} =-{\partial \over \partial t}P(x,t)$

სადაც j არის ალბათობის ნაკადი.

იხილეთ აგრეთვე

• დენის სიმკვრივე
• ეილერის განტოლება
• შრედინგერის განტოლება

ლიტერატურა

• Hydrodynamics, H. Lamb, Cambridge University Press, (2006 digitalization of 1932 6th edition) ISBN 978-0-521-45868-9
• Introduction to Electrodynamics (3rd Edition), D.J. Griffiths, Pearson Education Inc, 1999, ISBN 81-7758-293-3
• Electromagnetism (2nd edition), I.S. Grant, W.R. Phillips, Manchester Physics Series, 2008 ISBN 0-471-92712-0
• Gravitation, J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne, W.H. Freeman & Co, 1973, ISBN 0-7167-0344-0