ჰიპერბოლა

ჰიპერბოლა (ძვ. ბერძნ. ὑπερβολή [hyperbolē] < ὑπερ — „ზევით“ და βαλειν — „ადაგდება“) — კვეთის წირი, რომელიც მიიღება წრიული კონუსის სიბრტყით კვეთის შედეგად, რომელიც კვეთს ამ ამ კონუსის ორივე კალთას.

სიბრტყის მიერ კონუსის კვეთით მიღებული გეომეტრიული ფიგურები: წრეწირი, ელიფსი, პარაბოლა, ჰიპერბოლა

ჰიპერბოლა შეიძლება განისაზღვროს აგრეთვე, როგორც იმ $M$ წერტილთა გეომეტრიული ადგილი, რომელთათვისაც ამ სიბრტყის მოცემულ ორ $F_{1}$ და $F_{2}$ წერტილამდე (ჰიპერბოლის ფოკუსებამდე) მანძილების სხვაობა მუდმივი სიდიდეა. თუ $xOy$ კოორდინატთა სისტემას ავირჩევთ ისე, რომ ორ ურთიერთშებრუნებულ წრიულ კონუსებს მათი ღერძის პარალელურად კვეთდეს სიბრტყე ($OF_{1}=OF_{2}=c$), მაშინ ჰიპერბოლის განტოლება მიიღებს შემდეგ სახეს:

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ ($2a=F_{1}M-F_{2}M,b={\sqrt {c^{2}-a^{2}}}$).

ჰიპერბოლის ნახაზი

ჰიპერბოლა მეორე რიგის წირია. იგი შესდგება ორი უსასრულო შტოსგან: $K_{1}A_{1}K'_{1}$ და $K_{2}A_{2}K'_{2}$. ჰიპერბოლა სიმეტრიულია $F_{1}F_{2}$ და $B_{1}B_{2}$ ღერძების მიმართ. წერტილი $O$ — ჰიპერბოლის ცენტრი — მისი სიმეტრიის ცენტრია. ჰიპერბოლის $Ox$ ღერძთან გადაკვეთის $A_{1}$ და $A_{2}$ წერტილებს უწოდებენ ჰიპერბოლის წვეროებს. $A_{1}A_{2}=2a$ და $B_{1}B_{2}=2b$ მონაკვეთებს შესაბამისად ჰიპერბოლის ნამდვილ და წარმოსახვით ღერძებს უწოდებენ (მიუხედავად იმისა, რომ $Oy$ წრფე არ კვეთს ჰიპერბოლას, მასზე მაინც გადაზომავენ $OB_{1}=OB_{2}=b$ მონაკვეთებს. ვინაიდან $A_{2}B_{2}^{2}=OA_{2}^{2}+OB_{2}=a^{2}+b^{2}$, ამიტომ $A_{2}B_{2}=c$, ე. ი. ჰიპერბოლის წვეროდან წარმოსახვითი ღერძის ბოლო წერტილამდე მანძილი უდრის ფოკუსებს შორის მანძილის ნახევარს), ხოლო სიდიდეს $e=c/a>1$ — ექსცენტრისიტეტს, $D_{1}D'_{1}$ და $D_{2}D'_{2}$ წრფეებს, რომელთა განტოლებებია $x=-a/e$ და $x=a/e$ — დირექტრისებს. ჰიპერბოლის წერტილიდან უახლოეს ფოკუსამდე მანძილის ფარდობა უახლოეს დირექტრისამდე მანძილთან მუდმივია და უდრის ჰიპერბოლის ექსცენტრისიტეტს. $y=\pm b/a$ წრფეები (ნახაზზე გამსოახულია პუნქტირით) ჰიპერბოლის ასიმპტოტებია. უკუპროპორციულობის გრაფიკი $y=k/x$ არის ჰიპერბოლა.

იხილეთ აგრეთვე

• ანალიზური გეომეტრია
• კონუსური კვეთა
• წრეწირი
• ელიფსი
• პარაბოლა

ლიტერატურა

• ქართული საბჭოთა ენციკლოპედია, ტ. 11, თბ., 1987. — გვ. 664.