მათემატიკაში და ფიზიკაში საშუალო კვადრატული მნიშვნელობა არის ცვალებადი სიდიდის სტატისტიკური მახასიათებელი. ეს ცნება განსაკუთრებით მნიშვნელოვანია ისეთი ცვლადი სიდიდეების დასახასითებლად, რომელთა მნიშვნელობა შეიძლება იყოს როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი, მაგალითად სინუსოიდალური რხევისთვის.
რაიმე დისკრეტული სიდიდის საშუალო კვადრატული მნიშვნელობა განიმარტება როგორც კვადრატული ფესვი ამ მნიშვნელობების კვადრატების საშუალო არითმეტიკულიდან .
n
{\displaystyle n}
{
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
}
{\displaystyle \{x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\}}
x
r
m
s
=
x
1
2
+
x
2
2
+
⋯
+
x
n
2
n
.
{\displaystyle x_{\mathrm {rms} }={\sqrt {{{x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+\cdots +{x_{n}}^{2}} \over n}}.}
ანალოგიურ ფორმულას უწყვეტი ფუნქციისთვის
f
(
t
)
{\displaystyle f(t)}
T
1
≤
t
≤
T
2
{\displaystyle T_{1}\leq t\leq T_{2}}
f
r
m
s
=
1
T
2
−
T
1
∫
T
1
T
2
[
f
(
t
)
]
2
d
t
,
{\displaystyle f_{\mathrm {rms} }={\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{\int _{T_{1}}^{T_{2}}{[f(t)]}^{2}\,dt}}},}
ხოლო უსასრულო ინტერვალზე უწყვეტი ფუნქციის საშუალო კვადრატული მნიშვნელობა არის
f
r
m
s
=
lim
T
→
∞
1
2
T
∫
−
T
T
[
f
(
t
)
]
2
d
t
.
{\displaystyle f_{\mathrm {rms} }=\lim _{T\rightarrow \infty }{\sqrt {{1 \over {2T}}{\int _{-T}^{T}{[f(t)]}^{2}\,dt}}}.}
ფუნქცია
განტოლება
საშუალო კვადრატული
სინუსოიდალური ტალღა
y
=
a
sin
(
2
π
f
t
)
{\displaystyle y=a\sin(2\pi ft)\,}
a
2
{\displaystyle {\frac {a}{\sqrt {2}}}}
რაიმე ცვლადი სიდიდის საშუალო კვადრატული მნიშვნელობა ხშირად გამოიყენება ფიზიკაში .
სიმძლავრე
P
{\displaystyle P}
R
{\displaystyle R}
I
{\displaystyle I}
P
=
I
2
R
.
{\displaystyle P=I^{2}R.\,\!}
თუ დენი დროში ცვლადი ფუნქციაა
I
(
t
)
{\displaystyle I(t)}
P
a
v
g
{\displaystyle P_{\mathrm {avg} }\,\!}
=
⟨
I
(
t
)
2
R
⟩
{\displaystyle =\langle I(t)^{2}R\rangle \,\!}
⟨
…
⟩
{\displaystyle \langle \ldots \rangle }
=
R
⟨
I
(
t
)
2
⟩
{\displaystyle =R\langle I(t)^{2}\rangle \,\!}
R მუდმივია დროში)
=
(
I
R
M
S
)
2
R
{\displaystyle =(I_{\mathrm {RMS} })^{2}R\,\!}
ასე რომ საშუალო კვადრატული მნიშვნელობა
I
R
M
S
{\displaystyle I_{\mathrm {RMS} }}
I
(
t
)
{\displaystyle I(t)}
ტიპურ შემთხვევაში, როდესაც დენი არის სინუსოიდალური ფუნქცია, საშუალო სიმძლავრე მარტივად გამოითვლება ზემოთ მოყვანილი განტოლებებიდან. გვაქვს
I
R
M
S
=
1
T
2
−
T
1
∫
T
1
T
2
(
I
p
sin
(
ω
t
)
)
2
d
t
.
{\displaystyle I_{\mathrm {RMS} }={\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{\int _{T_{1}}^{T_{2}}{(I_{\mathrm {p} }\sin(\omega t)}\,})^{2}dt}}.\,\!}
სადაც t არის დრო, ხოლო ω არის კუთხური სიხშირე (ω = 2π/T , სადაც T არის ტალღის პერიოდი).
ვინაიდან
I
p
{\displaystyle I_{\mathrm {p} }}
I
R
M
S
=
I
p
1
T
2
−
T
1
∫
T
1
T
2
sin
2
(
ω
t
)
d
t
.
{\displaystyle I_{\mathrm {RMS} }=I_{\mathrm {p} }{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{\int _{T_{1}}^{T_{2}}{\sin ^{2}(\omega t)}\,dt}}}.}
ტრიგონომეტრიული იგივობების გამოყენებით მივიღებთ:
I
R
M
S
=
I
p
1
T
2
−
T
1
∫
T
1
T
2
1
−
cos
(
2
ω
t
)
2
d
t
{\displaystyle I_{\mathrm {RMS} }=I_{\mathrm {p} }{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{\int _{T_{1}}^{T_{2}}{1-\cos(2\omega t) \over 2}\,dt}}}}
I
R
M
S
=
I
p
1
T
2
−
T
1
[
t
2
−
sin
(
2
ω
t
)
4
ω
]
T
1
T
2
{\displaystyle I_{\mathrm {RMS} }=I_{\mathrm {p} }{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}\left[{{t \over 2}-{\sin(2\omega t) \over 4\omega }}\right]_{T_{1}}^{T_{2}}}}}
მაგრამ ვინაიდან ინტეგრების ინტერვალი მოიცავს რხევის ციკლების მთელ რაოდენობას
sin
{\displaystyle \sin }
I
R
M
S
=
I
p
1
T
2
−
T
1
[
t
2
]
T
1
T
2
=
I
p
1
T
2
−
T
1
T
2
−
T
1
2
=
I
p
2
.
{\displaystyle I_{\mathrm {RMS} }=I_{\mathrm {p} }{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}\left[{t \over 2}\right]_{T_{1}}^{T_{2}}}}=I_{\mathrm {p} }{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{{T_{2}-T_{1}} \over 2}}}={I_{\mathrm {p} } \over {\sqrt {2}}}.}
ფიზიკაში საშუალო კვადრატული სიჩქარე განიმარტება როგორც აირის მოლეკულების სიჩქარეების საშუალო კვადრატული მნიშვნელობა. თუ აირი აღიწერება მაქსველის განაწილებით , მაშინ გვაქვს:
v
R
M
S
=
3
R
T
M
{\displaystyle {v_{\mathrm {RMS} }}={\sqrt {3RT \over {M}}}}
სადაც
R
{\displaystyle R}
აირის უნივერსალური მუდმივა (8.314 ჯ /(მოლ ·კ )),
T
{\displaystyle T}
M
{\displaystyle M}
მოლური მასა კილოგრამებში .
![{\displaystyle f_{\mathrm {rms} }={\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{\int _{T_{1}}^{T_{2}}{[f(t)]}^{2}\,dt}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e1b23b04684325ebcec5c997cb037fcf4708351)
![{\displaystyle f_{\mathrm {rms} }=\lim _{T\rightarrow \infty }{\sqrt {{1 \over {2T}}{\int _{-T}^{T}{[f(t)]}^{2}\,dt}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d447d4fbd74bcb7040ad8e3ee577552f160e2995)
![{\displaystyle I_{\mathrm {RMS} }=I_{\mathrm {p} }{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}\left[{{t \over 2}-{\sin(2\omega t) \over 4\omega }}\right]_{T_{1}}^{T_{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58846eaeaebbdc61729e565379c47c61cfd688cb)
![{\displaystyle I_{\mathrm {RMS} }=I_{\mathrm {p} }{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}\left[{t \over 2}\right]_{T_{1}}^{T_{2}}}}=I_{\mathrm {p} }{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{{T_{2}-T_{1}} \over 2}}}={I_{\mathrm {p} } \over {\sqrt {2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ec750a39ff0c577a6f4c36bca8eb767767ea685)
