ამ სტატიაში არ არის მითითებული სანდო და გადამოწმებადი წყარო. ენციკლოპედიური სტატია უნდა იყოს გამყარებული სანდო და გადამოწმებადი წყაროებით - გთხოვთ გამართოთ ეს სტატია შესაბამისი წყაროების მითითებით. მასალა გადამოწმებადი წყაროების გარეშე ითვლება საეჭვოდ და შეიძლება წაიშალოს .დახმარების გვერდი (გაიგეთ როდის და როგორ უნდა ამოიღოთ ეს თარგი
მათემატიკაში სინუსი და კოსინუსი არის კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები . სამკუთხედის მახვილი კუთხის სინუსი და კოსინუსი განისაზღვრება მართკუთხა სამკუთხედის კონტექსტში. მოცემული კუთხის სინუსი არის ამ კუთხის მოპირდაპირე კათეტის შეფარდება ჰიპოტენუზასთან , ხოლო კოსინუსი — მიმდებარე კათეტის შეფარდება ჰიპოტენუზასთან. კუთხე
α
{\displaystyle \alpha }
sin
α
{\displaystyle \sin \alpha }
cos
α
{\displaystyle \cos \alpha }
სინუსისა და კოსინუსის გრაფიკი
α კუთხის მოპირდაპირე კათეტი (მწვანედ), მიმდებარე კათეტი (ლურდჯად) და ჰიპოტენუზა (წითლად) სინუსი და კოსინუსი ჩაიწერება ფუნქციური აღნიშვნის გამოყენებით, აბრევიატურებით sin და cos .
თუ არგუმენტი საკმაოდ მარტივია, ფუნქცია შეიძლება წარმოვადგინოთ როგორც
sin
α
{\displaystyle \sin \alpha }
sin
(
α
)
{\displaystyle \sin(\alpha )}
სინუსისა და კოსინუსი არის კუთხის ფუნქციები და ჩვეულებრივ გამოისახება რადიანებსა და გრადუსებში , თუ სხვა რამ არ არის დაკონკრეტებული.
α მახვილი კუთხის სინუსის განსასაზღვრად მართკუთხა სამკუთხედში მის მოპირდაპირე გვერდს (კათეტს) ვაფარდებთ ჰიპოტენუზასთან, კოსინუსის შემთხვევაში კი მიმდებარეს ვაფარდებთ ჰიპოტენუზასთან.
ერთეულოვანი წრე: რადიუსი უდრის 1 ერთეულს. ერთი ერთეულის სიგრძის რადიუსის მქონე წრეწირში (ერთეულოვან წრეწირში ), სინუსი განსაზღვრულია როგორც y კოორდინატი, კოსინუსი კი x კოორდინატი.
რადიუსი მოძრაობას იწყებს საათის ისრის მოძრაობის საწინააღმდეგო (დადებითი) მიმართულებით და მის თითოეულ პოზიციას შეესაბამება კუთხე (რადიანებში ), რომელსაც რადიუსი დადებით x -ღერძთან ადგენს, პირობითად θ კუთხე.
წერტილს, რომელიც წრეწირზე ძევს, შეესაბამება პირობითი კოორდინატები (a , b ). თუკი წერტილიდან x ღერძისკენ დავუშვებთ სიმაღლეს, შეიქმნება მართკუთხა სამკუთხედი, რომლის ჰიპოტენუზა იქნება 1 (რადგან ერთეულოვანი წრეწირი გვაქვს). θ კუთხის სინუსი იქნება:
sin
(
θ
)
=
მოპირდაპირე
ჰიპოტენუზა
=
მოპირდაპირე
1
=
მოპირდაპირე
{\displaystyle \sin(\theta )={\frac {\text{მოპირდაპირე}}{\text{ჰიპოტენუზა}}}={\frac {\text{მოპირდაპირე}}{1}}={\text{მოპირდაპირე}}}
b , რადგან მოპირდაპირე კუთხის სიგრძე ემთხვევა წერტილის კოორდინატს y ღერძზე. ანალოგიურადაა კოსინუსის შემთხვევაშიც:
cos
(
θ
)
=
მიმდებარე
ჰიპოტენუზა
=
მიმდებარე
=
a
{\displaystyle \cos(\theta )={\frac {\text{მიმდებარე}}{\text{ჰიპოტენუზა}}}={\text{მიმდებარე}}=a}
y
=
sin
x
{\displaystyle y=\sin x}
რედაქტირება
კოსინუსი (ლურჯი) და სინუსი (წითელი)
y
=
sin
x
{\displaystyle y=\sin x}
D
(
y
)
=
R
{\displaystyle D(y)=R}
E
(
y
)
=
[
−
1
;
1
]
{\displaystyle E(y)=[-1;1]}
სინუს ფუნქცია კენტია, რადგან ნებისმიერი
x
{\displaystyle x}
sin
(
−
x
)
=
−
sin
x
{\displaystyle \sin(-x)=-\sin x}
P
,
x
{\displaystyle P_{,}x}
P
,
(
−
x
)
{\displaystyle P_{,}(-x)}
y
=
sin
x
{\displaystyle y=\sin x}
2
π
{\displaystyle 2\pi }
R
0
(
x
+
2
π
)
=
R
0
x
{\displaystyle R_{0}(x+2\pi )=R_{0}x}
y
=
sin
x
{\displaystyle y=\sin x}
[
−
π
2
,
π
2
]
{\displaystyle [-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}]}
[
π
2
,
3
π
2
]
{\displaystyle [{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}}]}
[
π
2
+
2
π
⋅
k
,
π
2
+
2
π
⋅
k
]
k
∈
Z
{\displaystyle [{\frac {\pi }{2}}+2\pi \cdot k,{\frac {\pi }{2}}+2\pi \cdot k]k\in Z}
[
π
2
+
2
π
⋅
k
,
3
π
2
+
2
π
⋅
k
]
k
∈
Z
{\displaystyle [{\frac {\pi }{2}}+2\pi \cdot k,{\frac {3\pi }{2}}+2\pi \cdot k]k\in Z}
y
=
sin
x
{\displaystyle y=\sin x}
x
{\displaystyle x}
sin
(
−
x
)
=
sin
(
x
)
{\displaystyle \sin(-x)=\sin(x)}
y
=
cos
x
{\displaystyle y=\cos x}
ფუნქცია
რედაქტირება
y
=
cos
x
{\displaystyle y=\cos x}
D
(
y
)
=
R
{\displaystyle D(y)=R}
E
(
y
)
=
[
−
1
;
1
]
{\displaystyle E(y)=[-1;1]}
y
=
cos
x
{\displaystyle y=\cos x}
x
{\displaystyle x}
cos
(
−
x
)
=
cos
x
{\displaystyle \cos(-x)=\cos x}
P
,
x
{\displaystyle P_{,}x}
P
,
(
−
x
)
{\displaystyle P_{,}(-x)}
y
=
cos
x
{\displaystyle y=\cos x}
2
π
{\displaystyle 2\pi }
R
0
(
x
+
2
π
)
=
R
0
x
{\displaystyle R_{0}(x+2\pi )=R_{0}x}
y
=
cos
x
{\displaystyle y=\cos x}
[
−
π
,
0
]
{\displaystyle [-\pi ,0]}
[
0
,
π
]
{\displaystyle [0,\pi ]}
2
π
{\displaystyle 2\pi }
[
−
π
+
2
π
⋅
k
,
2
π
⋅
k
]
k
∈
Z
{\displaystyle [-\pi +2\pi \cdot k,2\pi \cdot k]k\in Z}
[
2
π
⋅
k
,
π
+
2
π
⋅
k
]
k
∈
Z
{\displaystyle [2\pi \cdot k,\pi +2\pi \cdot k]k\in Z}
კოსინუსის ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია OY ღერძის მიმართ , რადგან ლუწი ფუნქციაა. ნებისმიერი
x
{\displaystyle x}
cos
(
−
x
)
=
−
cos
(
x
)
{\displaystyle \cos(-x)=-\cos(x)}
y
=
cos
x
{\displaystyle y=\cos x}
ეს ეხება ყველა
α
{\displaystyle \alpha }
sin
(
α
)
=
cos
(
π
2
−
α
)
=
cos
(
α
−
π
2
)
{\displaystyle \sin(\alpha )=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\cos \left(\alpha -{\frac {\pi }{2}}\right)}
cos
(
α
)
=
sin
(
π
2
−
α
)
=
sin
(
α
+
π
2
)
{\displaystyle \cos(\alpha )=\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\sin \left(\alpha +{\frac {\pi }{2}}\right)}
sin
α
=
cos
(
3
π
2
+
α
)
{\displaystyle \sin \alpha =\cos({\frac {3\pi }{2}}+\alpha )}
sin
α
=
t
g
α
1
+
c
t
g
2
α
{\displaystyle \sin \alpha ={\frac {tg\alpha }{\sqrt {1+ctg^{2}\alpha }}}}
cos
α
=
1
1
+
t
g
2
α
{\displaystyle \cos \alpha ={\frac {1}{\sqrt {1+tg^{2}\alpha }}}}
cos
α
=
c
t
g
α
1
+
c
t
g
2
α
{\displaystyle \cos \alpha ={\frac {ctg\alpha }{\sqrt {1+ctg^{2}\alpha }}}}
ეს იგივეობა გამომდინარეობს იქიდან, რომ ერთეულოვან წრეწირში სინუსი Y კოორდინატია, კოსინუსი X და ჰიპოტენუზა — რადიუსი (1), ანუ სინუსისა და კოსინუსის კვადრატების ჯამი 1-ია
cos
2
(
θ
)
+
sin
2
(
θ
)
=
1
{\displaystyle \cos ^{2}(\theta )+\sin ^{2}(\theta )=1}
sin
2
(
α
)
=
1
−
cos
2
(
α
)
{\displaystyle \sin ^{2}(\alpha )=1-\cos ^{2}(\alpha )}
სადაც sin 2 (x) ნიშნავს sin(x)) 2 -ს.
sin
(
2
α
)
=
2
sin
(
α
)
cos
(
α
)
{\displaystyle \sin(2\alpha )=2\sin(\alpha )\cos(\alpha )}
cos
(
2
α
)
=
cos
2
(
α
)
−
sin
2
(
α
)
=
2
cos
2
(
α
)
−
1
=
1
−
2
sin
2
(
α
)
{\displaystyle \cos(2\alpha )=\cos ^{2}(\alpha )-\sin ^{2}(\alpha )=2\cos ^{2}(\alpha )-1=1-2\sin ^{2}(\alpha )}
sin
(
α
+
β
)
=
s
i
n
α
⋅
cos
β
+
s
i
n
β
⋅
cos
α
{\displaystyle \sin(\alpha +\beta )=sin\alpha \cdot \cos \beta +sin\beta \cdot \cos \alpha }
sin
(
α
−
β
)
=
sin
α
⋅
cos
β
−
cos
α
⋅
sin
β
{\displaystyle \sin(\alpha -\beta )=\sin \alpha \cdot \cos \beta -\cos \alpha \cdot \sin \beta }
cos
(
α
+
β
)
=
cos
α
⋅
cos
β
−
sin
α
⋅
sin
β
{\displaystyle \cos(\alpha +\beta )=\cos \alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta }
cos
(
α
−
β
)
=
cos
α
⋅
cos
β
+
sin
α
⋅
sin
β
{\displaystyle \cos(\alpha -\beta )=\cos \alpha \cdot \cos \beta +\sin \alpha \cdot \sin \beta }
sin
α
2
=
±
1
−
cos
α
2
{\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{2}}}}
cos
α
2
=
±
1
+
cos
α
2
{\displaystyle \cos {\frac {\alpha }{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{2}}}}
sin
3
α
=
3
sin
α
−
4
sin
3
α
{\displaystyle \sin 3\alpha =3\sin \alpha -4\sin ^{3}\alpha }
cos
3
α
=
4
cos
3
α
−
3
cos
α
{\displaystyle \cos 3\alpha =4\cos ^{3}\alpha -3\cos \alpha }
sin
2
α
=
1
−
cos
(
2
α
)
2
{\displaystyle \sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos(2\alpha )}{2}}}
sin
3
α
=
3
sin
α
−
sin
(
3
α
)
4
{\displaystyle \sin ^{3}\alpha ={\frac {3\sin \alpha -\sin(3\alpha )}{4}}}
cos
2
α
=
1
+
cos
(
2
α
)
2
{\displaystyle \cos ^{2}\alpha ={\frac {1+\cos(2\alpha )}{2}}}
cos
3
α
=
3
cos
α
+
cos
(
3
α
)
4
{\displaystyle \cos ^{3}\alpha ={\frac {3\cos \alpha +\cos(3\alpha )}{4}}}
sin
2
α
⋅
cos
2
α
=
sin
2
(
2
α
)
4
{\displaystyle \sin ^{2}\alpha \cdot \cos ^{2}\alpha ={\frac {\sin ^{2}(2\alpha )}{4}}}
დეკარტის კოორდინატთა სისტემის ოთხი მეოთხედი
მეოთხედი
კუთხე
სინუსი
კოსინუსი
გრადუსები
რადიანები
Ნიშანი
Ნიშანი
1-ლი მეოთხედი, I
0
∘
<
x
<
90
∘
{\displaystyle 0^{\circ }<x<90^{\circ }}
0
<
x
<
π
2
{\displaystyle 0<x<{\frac {\pi }{2}}}
+
{\displaystyle +}
+
{\displaystyle +}
მე-2 მეოთხედი, II
90
∘
<
x
<
180
∘
{\displaystyle 90^{\circ }<x<180^{\circ }}
π
2
<
x
<
π
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}<x<\pi }
+
{\displaystyle +}
−
{\displaystyle -}
მე-3 მეოთხედი, III
180
∘
<
x
<
270
∘
{\displaystyle 180^{\circ }<x<270^{\circ }}
π
<
x
<
3
π
2
{\displaystyle \pi <x<{\frac {3\pi }{2}}}
−
{\displaystyle -}
−
{\displaystyle -}
მე-4 მეოთხედი, IV
270
∘
<
x
<
360
∘
{\displaystyle 270^{\circ }<x<360^{\circ }}
3
π
2
<
x
<
2
π
{\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}<x<2\pi }
−
{\displaystyle -}
+
{\displaystyle +}
სინუსების თეორემა გვიჩვენებს, რომ სამკუთხედისთვის a , b და c გვერდებით და A , B და C გვერდების მოპირდაპირე კუთხეებით:
sin
A
a
=
sin
B
b
=
sin
C
c
.
{\displaystyle {\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}.}
ეს ეკვივალენტურია ქვემოთ მოცემული პირველი სამი გამოსახულებისა:
a
sin
A
=
b
sin
B
=
c
sin
C
=
2
R
,
{\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R,}
სადაც R არის სამკუთხედზე შემოხაზული წრეწირის რადიუსი .
კოსინუსების თეორემიდან ვიცით, რომ სამკუთხედისთვის a , b და c გვერდებისა და A , B და C გვერდების მოპირდაპირე კუთხეების მქონე სამკუთხედისთვის:
a
2
+
b
2
−
2
a
b
cos
(
C
)
=
c
2
{\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos(C)=c^{2}}
როცა
C
=
π
/
2
{\displaystyle C=\pi /2}
cos
(
C
)
=
0
{\displaystyle \cos(C)=0}
პითაგორას თეორემად : მართკუთხა სამკუთხედისთვის,
a
2
+
b
2
=
c
2
,
{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2},}
c არის ჰიპოტენუზა.
![{\displaystyle E(y)=[-1;1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfe43c8076e923b7c300400de3cf60a9f4b738d2)
![{\displaystyle [-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dc480741da18128936a24486e90845e818ee6ff)
![{\displaystyle [{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5296e5040076166e1d7b0707fbe8065e1f7789e9)
![{\displaystyle [{\frac {\pi }{2}}+2\pi \cdot k,{\frac {\pi }{2}}+2\pi \cdot k]k\in Z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb0818380a5ce7915e29df377ccfcfeffdb58538)
![{\displaystyle [{\frac {\pi }{2}}+2\pi \cdot k,{\frac {3\pi }{2}}+2\pi \cdot k]k\in Z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/707eac666ff2c5d754bd27567a821226e1d0a957)
![{\displaystyle [-\pi ,0]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b78e1f27dbb353d8aa259a1ab97afe1a7e8a6cf3)
![{\displaystyle [0,\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e2a912eda6ef1afe46a81b518fe9da64a832751)
![{\displaystyle [-\pi +2\pi \cdot k,2\pi \cdot k]k\in Z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/527b460d663583a2d7e852cf782cec1936deca85)
![{\displaystyle [2\pi \cdot k,\pi +2\pi \cdot k]k\in Z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27677f9999d583e2939ea4c3ae9eff80a155d45e)
