ერთობლივი ალბათური განაწილება

ალბათობის თეორიასა და სტატისტიკაში, ალბათურ სივრცეზე განსაზღვრული შემთხვევითი X, Y, ... ცვლადების ერთობლივი ალბათური განაწილება იძლევა ალბათობას იმისა, რომ ამ ცვლადებიდან თითოეული იღებს მნიშვნელობებს გარკვეულ ინტერვალებში ან დისკრეტულ წერტილებში. ერთობლივი ალბათური განაწილება შესაძლებელია მოიცეს კუმულატიური ალბათური განაწილების ფუნქციით, ალბათური მასის ფუნქციით (დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადებისთვის) ან ალბათური სიმკვრივის ფუნქციით (უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადებისთვის).
ერთობლივი ალბათური განაწილება იძლევა საშუალებას განისაზღვროს პირობითი და მარგინალური განაწილებები.

დისკრეტული განაწილებები

ორი დისკრეტული შემთხვევითი X და Y ცვლადის ერთობლივი ალბათური განაწილება გამოსახავს იმის ალბათობას, რომ ერთდროულად X იღებს რაიმე x მნიშვნელობას, ხოლო Y კი - რაიმე y მნიშვნელობას. შესაბამისი ალბათური მასის ფუნქცია წარმოადგენს x-სა და y-ის ფუნქციას და აღინიშნება როგორც $p(x,y)$:

$p(x,y)=\Pr(X=x\cap Y=y)\equiv \Pr(X=x,Y=y).$

მაგალითად, ორი იდენტური X და Y კამათლის ერთდროულად გაგორებისას მოსული შესაძლო წყვილებია (1;1), (1;2), ..., (6;5), (6;6). ცხადია, ნებისმიერი წყვილის მოსვლის ალბათობა 1/36-ია. ერთ-ერთი მათგანის, დავუშვათ, (3;5) წყვილის მოსვლის ალბათობა მასის ფუნქციის გამოყენებით ჩაიწერება შემდეგნაირად:

$p(3,5)=\Pr(X=3\cap Y=5)\equiv \Pr(X=3,Y=5).$

პირობითი ალბათობის გამოსათვლელი ფორმულიდან გამომდინარეობს, რომ

$\Pr(X=x\cap Y=y)=\Pr(X=x|Y=y)\Pr(Y=y)=\Pr(Y=y|X=x)\Pr(X=x)=p(x,y).$

უწყვეტი განაწილებები

ორი უწყვეტი შემთხვევითი X და Y ცვლადის ალბათური სიმკვრივის ფუნქცია შეიძლება მოიცეს როგორც:

$f_{X,Y}(x,y)=f_{Y\mid X}(y\mid x)f_{X}(x)=f_{X\mid Y}(x\mid y)f_{Y}(y),$

სადაც $f_{Y\mid X}$ და $f_{X\mid Y}$ პირობითი ალბათური განაწილებებია.

იხილეთ აგრეთვე

• ალბათური სივრცე
• შემთხვევითი სიდიდე
• პირობითი ალბათური განაწილება
• მარგინალური ალბათური განაწილება

ლიტერატურა

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Joint distribution", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4