ალბათური განაწილების ფუნქცია

ალბათობის თეორიაში ალბათური განაწილების ფუნქცია (იგივე განაწილების ფუნქცია ან კუმულატიური განაწილების ფუნქცია) წარმოადგენს ფუნქციას, რომლის მნიშვნელობაც ყოველ x წერტილში არის ალბათობა იმისა, რომ ამ განაწილების ფუნქციის შესაბამისი შემთხვევითი სიდიდე მიიღებს x-ზე ნაკლებ მნიშვნელობას.

სხვადასხვა პარამეტრების მქონე ნორმალურ განაწილებათა განაწილების ფუნქციები.

განსაზღვრება

ვთქვათ, მოცემულია ალბათური სივრცე $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ მასზე განსაზღვრული შემთხვევით სიდიდით $\displaystyle X$ და განაწილებით $\mathbb {P} _{X}$. $\displaystyle X$ შემთხვევითი სიდიდის განაწილების ფუნქცია ვუწოდოთ ფუნქციას $F_{X}\colon \mathbb {R} \to [0,1]$, რომელიც განისაზღვრება შემდეგნაირად:

$F_{X}(x)=\mathbb {P} (X\leqslant x)\equiv \mathbb {P} _{X}\left((-\infty ,x]\right)$.

ანუ, განაწილების ფუნქციის მნიშვნელობა წერტილში $x$ წარმოადგენს ალბათობას ხდომილებისა $\{\omega :X(\omega )\leqslant x\}$.

აღსანიშნავია, რომ ზოგჯერ განაწილების ფუნქციას განსაზღვრავენ შემდეგნაირად:

$F_{X}(x)=\mathbb {P} (X<x)\equiv \mathbb {P} _{X}\left((-\infty ,x)\right)$.

თვისობრივი განსხვავება ამ ორ განმარტებას შორის არ არის; მეორენაირად განმარტებული განაწილების ფუნქცია მარცხნიდან უწყვეტია (ნაცვლად მარჯვნიდან უწყვეტისა).

თვისებები

განაწილების ფუნქციას ოთხი ძირითადი თვისება გააჩნია:

• $\displaystyle F_{X}$ უწყვეტია მარჯვნიდან:

  $\lim \limits _{\varepsilon \to 0+}F_{X}(x+\varepsilon )=F_{X}(x)$

• $\displaystyle F_{X}$ არაკლებადია მთელ ღერძზე.
• $\lim \limits _{x\to -\infty }F_{X}(x)=0$.
• $\lim \limits _{x\to +\infty }F_{X}(x)=1$.

შემთხვევითი სიდიდის განაწილება $\mathbb {P} _{X}$ ცალსახად განსაზღვრავს განაწილების ფუნქციას. სამართლიანია შებრუნებულიც: თუ ფუნქცია $F(x)$ აკმაყოფილებს ზემოთ მოყვანილ ოთხ თვისებას, მაშინ არსებობს ალბათური სივრცე და მასზე განსაზღვრული ისეთი შემთხვევითი სიდიდე, რომ $F(x)$ მის განაწილების ფუნქციას წარმოადგენს.

მარჯვნიდან უწყვეტობის თვისების ძალით განაწილების ფუნქციას ყოველთვის გააჩნია მარჯვენა ზღვარი $F_{X}(x+)$ და ის ემთხვევა $F_{X}(x)$-ს ყოველი $x\in \mathbb {R}$. არაკლებადობის თვისება კი უზრუნველყოფს $F_{X}(x-)$ ზღვრის არსებობას, თუმცა არაა აუცილებელი, რომ ეს უკანასკნელი ემთხვეოდეს ფუნქციის მნიშვნელობას $x$ წერტილში. აქედან გამომდინარე, ნებისმიერი $x\in \mathbb {R}$ წერტილისთვის $F_{X}$ ან უწყვეტია, ან გააჩნია პირველი გვარის წყვეტა.

კავშირი ალბათობასთან

ალბათობის თვისებებიდან გამომდინარე, $\forall x\in \mathbb {R} ,\;\forall a,b\in \mathbb {R}$, თუ $\displaystyle a<b$, სამართლიანია შემდეგი ტოლობები:

• $\mathbb {P} (X>x)=1-F_{X}(x)$;
• $\mathbb {P} (X<x)=F_{X}(x-)$;
• $\mathbb {P} (X\geqslant x)=1-F_{X}(x-)$;
• $\mathbb {P} (X=x)=F_{X}(x)-F_{X}(x-)$;
• $\mathbb {P} (a<X\leqslant b)=F_{X}(b)-F_{X}(a)$;
• $\mathbb {P} (a\leqslant X\leqslant b)=F_{X}(b)-F_{X}(a-)$;
• $\mathbb {P} (a<X<b)=F_{X}(b-)-F_{X}(a)$;
• $\mathbb {P} (a\leqslant X<b)=F_{X}(b-)-F_{X}(a-)$.

ლიტერატურა

• ე. ნადარაია, რ. აბსავა, მ. ფაცაცია, ალბათობის თეორია – თსუ, 2005
• Ширяев А.Н, Вероятность - Наука, Москва, 1989 ISBN 5-02-013955-6