თუ
X
{\displaystyle \scriptstyle X}
D
(
X
)
{\displaystyle \scriptstyle D(X)}
D
(
X
)
=
E
[
(
X
−
μ
)
2
]
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {D} (X)&=\operatorname {E} [(X-\mu )^{2}]\,.\end{aligned}}}
სადაც
μ
=
E
[
X
]
{\displaystyle \mu =E[X]}
X
{\displaystyle \scriptstyle X}
ლოდინი . შემდგომი მარტივი გარდაქმნებით დისპერსია შესაძლებელია შემდეგ სახეზე იქნას მიყვანილი:
D
(
X
)
=
E
[
(
X
−
μ
)
2
]
=
E
[
X
2
−
2
μ
X
+
μ
2
]
=
E
[
X
2
]
−
2
μ
E
[
X
]
+
μ
2
=
E
[
X
2
]
−
2
μ
2
+
μ
2
=
E
[
X
2
]
−
μ
2
=
E
[
X
2
]
−
(
E
[
X
]
)
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {D} (X)&=\operatorname {E} [(X-\mu )^{2}]\\&=\operatorname {E} [X^{2}-2\mu X+\mu ^{2}]\\&=\operatorname {E} [X^{2}]-2\mu \,\operatorname {E} [X]+\mu ^{2}\\&=\operatorname {E} [X^{2}]-2\mu ^{2}+\mu ^{2}\\&=\operatorname {E} [X^{2}]-\mu ^{2}\\&=\operatorname {E} [X^{2}]-(\operatorname {E} [X])^{2}.\end{aligned}}}
როგორც წესი, დისპერსია აღინიშნება, როგორც
σ
X
2
{\displaystyle \scriptstyle \sigma _{X}^{2}}
σ
2
{\displaystyle \scriptstyle \sigma ^{2}}
σ
{\displaystyle \scriptstyle \sigma }
საშუალო სტანდარტული გადახრაა . დასავლურ ლიტერატურაში მიღებულია ტერმინი „ვარიაცია“ და შემდეგი ფორმალური ჩაწერა:
Var
(
X
)
{\displaystyle \operatorname {Var} (X)}
დისპერსია ყოველთვის არაუარყოფითია:
D
[
X
]
⩾
0
;
{\displaystyle D[X]\geqslant 0;}
თუ შემთხვევითი სიდიდის დისპერსია სასრულია, მაშინ მისი მათემატიკური ლოდინიც სასრულია;
თუ შემთხვევითი სიდიდე მუდმივია, მაშინ მისი დისპერსია ნულის ტოლია:
D
[
a
]
=
0.
{\displaystyle D[a]=0.}
D
[
X
]
=
0
,
{\displaystyle D[X]=0,}
X
=
E
[
X
]
{\displaystyle X=E[X]}
თითქმის ყველგან ;
ორი შემთხვევით სიდიდის ჯამის დისპერსია შემდეგნაირად გამოითვლება:
D
[
X
+
Y
]
=
D
[
X
]
+
D
[
Y
]
+
2
cov
(
X
,
Y
)
{\displaystyle \!D[X+Y]=D[X]+D[Y]+2\,{\text{cov}}(X,Y)}
cov
(
X
,
Y
)
{\displaystyle \!{\text{cov}}(X,Y)}
კოვარიაციაა ;
ზოგადად, ნებისმიერი რაოდენობა შემთხვევითი სიდიდეების წრფივი კომბინაციისთვის სამართლიანია შემდეგი ტოლობა:
D
[
∑
i
=
1
n
c
i
X
i
]
=
∑
i
=
1
n
c
i
2
D
[
X
i
]
+
2
∑
1
⩽
i
<
j
⩽
n
c
i
c
j
cov
(
X
i
,
X
j
)
{\displaystyle \!D\left[\sum _{i=1}^{n}c_{i}X_{i}\right]=\sum _{i=1}^{n}c_{i}^{2}D[X_{i}]+2\sum _{1\leqslant i<j\leqslant n}c_{i}c_{j}\,{\text{cov}}(X_{i},X_{j})}
c
i
∈
R
{\displaystyle c_{i}\in \mathbb {R} }
კერძოდ,
D
[
X
1
+
.
.
.
+
X
n
]
=
D
[
X
1
]
+
.
.
.
+
D
[
X
n
]
{\displaystyle \displaystyle D[X_{1}+...+X_{n}]=D[X_{1}]+...+D[X_{n}]}
X
1
,
.
.
.
,
X
n
{\displaystyle \displaystyle X_{1},...,X_{n}}
დამოუკიდებლებია (ამ შემთხვევაში მათი კოვარიაცია ნულის ტოლია);
D
[
a
X
]
=
a
2
D
[
X
]
;
{\displaystyle D\left[aX\right]=a^{2}D[X];}
D
[
−
X
]
=
D
[
X
]
;
{\displaystyle D\left[-X\right]=D[X];}
D
[
X
+
b
]
=
D
[
X
]
.
{\displaystyle D\left[X+b\right]=D[X].}
ვთქვათ, მოცემულია
[
0
,
1
]
{\displaystyle \displaystyle [0,1]}
თანაბრად განაწილებული შემთხვევითი სიდიდე
X
{\displaystyle \displaystyle X}
განაწილების სიმკვრივეს აქვს შემდეგი სახე:
f
X
(
x
)
=
{
1
,
x
∈
[
0
,
1
]
0
,
x
∉
[
0
,
1
]
.
{\displaystyle f_{X}(x)=\left\{{\begin{matrix}1,&x\in [0,1]\\0,&x\not \in [0,1].\end{matrix}}\right.}
გამოვთვალოთ ამ შემთხვევითი სიდიდის დისპერსია.
E
[
X
2
]
=
∫
0
1
x
2
d
x
=
x
3
3
|
0
1
=
1
3
,
{\displaystyle E\left[X^{2}\right]=\int \limits _{0}^{1}\!x^{2}\,dx=\left.{\frac {x^{3}}{3}}\right\vert _{0}^{1}={\frac {1}{3}},}
E
[
X
]
=
∫
0
1
x
d
x
=
x
2
2
|
0
1
=
1
2
.
{\displaystyle E\left[X\right]=\int \limits _{0}^{1}\!x\,dx=\left.{\frac {x^{2}}{2}}\right\vert _{0}^{1}={\frac {1}{2}}.}
საბოლოოდ:
D
[
X
]
=
E
[
X
2
]
−
(
E
[
X
]
)
2
=
1
3
−
(
1
2
)
2
=
1
12
.
{\displaystyle D[X]=E\left[X^{2}\right]-(E[X])^{2}={\frac {1}{3}}-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}={\frac {1}{12}}.}
ე. ნადარაია, რ. აბსავა, მ. ფაცაცია , ალბათობის თეორია – თსუ, 2005Ширяев А.Н , Вероятность - Наука, Москва, 1989 ISBN 5-02-013955-6 
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {D} (X)&=\operatorname {E} [(X-\mu )^{2}]\,.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9eb5f64fd18fd9e8b716d65a101dd5dd9fac3a5a)
![{\displaystyle \mu =E[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b8d5d31fd9dc7cd9849f1a07a72e82420448133)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {D} (X)&=\operatorname {E} [(X-\mu )^{2}]\\&=\operatorname {E} [X^{2}-2\mu X+\mu ^{2}]\\&=\operatorname {E} [X^{2}]-2\mu \,\operatorname {E} [X]+\mu ^{2}\\&=\operatorname {E} [X^{2}]-2\mu ^{2}+\mu ^{2}\\&=\operatorname {E} [X^{2}]-\mu ^{2}\\&=\operatorname {E} [X^{2}]-(\operatorname {E} [X])^{2}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11a09da387579d66bee4693e23651b1eb6d05bf9)
![{\displaystyle D[X]\geqslant 0;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d40705c976a05f84c1f30e544e3d7073d590b185)
![{\displaystyle D[a]=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8aafb40239241fc7844847d6356203bc99c0b130)
![{\displaystyle D[X]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca6d19bb98a50035c7a0ba2cdfdd02dfe18b405b)
![{\displaystyle X=E[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a451efbfb7c744e575ef4df4b723f3758bff119)
![{\displaystyle \!D[X+Y]=D[X]+D[Y]+2\,{\text{cov}}(X,Y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d28e00bce1c6ba2c7dd12f24b2878c0a8fd0df11)
![{\displaystyle \!D\left[\sum _{i=1}^{n}c_{i}X_{i}\right]=\sum _{i=1}^{n}c_{i}^{2}D[X_{i}]+2\sum _{1\leqslant i<j\leqslant n}c_{i}c_{j}\,{\text{cov}}(X_{i},X_{j})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/128350c8df2159e1ab0316ef3937f058ae283e24)
![{\displaystyle \displaystyle D[X_{1}+...+X_{n}]=D[X_{1}]+...+D[X_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f331b32902a8ff187372ee6fe4c7eba53883a83)
![{\displaystyle D\left[aX\right]=a^{2}D[X];}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ea509bac4ed988b4178f1a212492200442e9107)
![{\displaystyle D\left[-X\right]=D[X];}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/159333e7d899fb45910b6957d61fd2e9c4085c2b)
![{\displaystyle D\left[X+b\right]=D[X].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65543f897da5489571ca4899418c6a0cfac9b3be)
![{\displaystyle \displaystyle [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f3c46b95603c311eaa541789bf49b6666d7f48f)
![{\displaystyle f_{X}(x)=\left\{{\begin{matrix}1,&x\in [0,1]\\0,&x\not \in [0,1].\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfe7c0979d6e6a936e73de86914b564f78c5db16)
![{\displaystyle E\left[X^{2}\right]=\int \limits _{0}^{1}\!x^{2}\,dx=\left.{\frac {x^{3}}{3}}\right\vert _{0}^{1}={\frac {1}{3}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97a7cc014ac38031eff4e7009d393ff1dfe67602)
![{\displaystyle E\left[X\right]=\int \limits _{0}^{1}\!x\,dx=\left.{\frac {x^{2}}{2}}\right\vert _{0}^{1}={\frac {1}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2bee9ebcb8b150bff7dbc6d2b85f5b075022941)
![{\displaystyle D[X]=E\left[X^{2}\right]-(E[X])^{2}={\frac {1}{3}}-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}={\frac {1}{12}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77bd10b05b6ba055f2eee3d65abb06f381522f8d)