ჯგუფი (მათემატიკა)

ჯგუფი — ეწოდება არაცარიელ სიმრავლეს, რომელშიც განმარტებულია ბინარული ოპერაცია და რომელიც აკმაყოფილებს აქსიომებს (იხ. ქვემოთ).

ჯგუფი ალგებრაში ერთ-ერთი მნიშვნელოვანი ცნებაა, რომელიც ძირითადად სიმრავლეების კლასიფიკაციისათვის არის შემოტანილი. ალგებრაში შესწავლილია ჯგუფის თვისებები, შესაბამისად ყველა იმ სიმრავლესთან მუშაობა რომელიც იქნება ჯგუფი უკვე ხდება ადვილი და გასაგები. ამის შესწავლას დიდი მნიშვნელობა აქვს, ის აგრეთვე გამოიყენება ისეთი ამოცანების დამტკიცებაში როგორიცაა: ტრისექტრისის გავლება შეუძლებელია ფარგლითა და სახაზავის მეშვეობით, ხუთის ტოლი ან უფრო მეტი ხარისხიანი განტოლებები რადიკალებში არ იხსნება, ზოგიერთი ფუნქციის პირველადები არ გამოისახება ელემენტარულ ფუნქციებში, ეს ყველაფერი პირდაპირ კავშირშია გალუას თეორიასთან.

მათემატიკური განმარტება

არაცარიელ სიმრავლეს $G$ რომელშიც განმარტებულია ბინარული ოპერაცია $\,*\,\colon G\times G\to G$ ეწოდება ჯგუფი $(G,*)$ თუ ის აკმაყოფილებს შემდეგ აქსიომებს:

• $\forall (a,b,c\in G):(a*b)*c=a*(b*c)$ ასოციატურობა
• ნეიტრალური ელემენტის არსებობა: $\exists e\in G\quad \forall a\in G:(e*a=a*e=a)$;
• შებრუნებული ელემენტის არსებობა : $\forall a\in G\quad \exists a^{-1}\in G:(a*a^{-1}=a^{-1}*a=e)$

შენიშვნები

ხანდახან ითხოვენ მხოლოდ მარჯვენა ან მარცხენა ნეიტრალური ელემენტის არსებობას. მარტივი დასანახია რომ შებრუნებული ელემენტი ყოველთვი ერთადერთია.

მსგავსი განმარტებები

• კომუტატიურობა, აბელის ჯგუფი
• ჯგუფის ცენტრი
• ქვეჯგუფი
• ნორმალური ქვეჯგუფი
• ჯგუფის რიგი, სიმძლავრე
• რგოლი
• ველი
• იდეალი

მაგალითები

• მთელ რიცხვთა სიმრავლე ბინარული ოპერაცია შეკრების მიმართ ადგენს ჯგუფს, და რადგანაც კომუტატიურია, შესაბამისად ადგენს აბელის ჯგუფს.
• ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლე ნულის გარეშე ადგენს ჯგუფს გამრავლების მიმართ.
• რაციონალურ რიცხვთა სიმრავლე ნულის გარეშე ადგეს ჯგუფს გამრავლების მიმართ