ტანგენსების თეორემა — ტრიგონომეტრიის თეორემა, რომელიც ამყარებს თანაფარდობას სამკუთხედის გვერდებსა და მათ პირდაპირ მდებარე კუთხეების ნახევარჯამისა და ნახევარსხვაობების ტანგენსებს შორის.
ნახ. 1. სამკუთხედის α β γ a b c სახელდობრ, თუ a და b სამკუთხედის გვერდების სიგრძეებია, ხოლო A, B — მოპირდაპირე კუთხეების სიდიდეები, მაშინ:
a
−
b
a
+
b
=
tan
1
2
(
α
−
β
)
tan
1
2
(
α
+
β
)
{\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}{\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}}}
ტანგენსების თეორემა, რომელიც ისე ფართოდ ცნობილი არ არის, როგორც სინუსების თეორემა ან კოსინუსების თეორემა , სინუსების თეორემის ეკვივალენტურია და შეიძლება გამოყენებულ იქნას ნებისმიერ შემთხვევაში, როდესაც ცნობილია ორი გვერდი და მათი მიმდებარე კუთხე, ან ორი კუთხე და გვერდი.
ტანგენსების თეორემის დასამტკიცებლად შეიძლება დავიწყოთ სინუსების თეორემით :
a
sin
α
=
b
sin
β
.
{\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}.}
ვთქვათ, რომ
d
=
a
sin
α
=
b
sin
β
{\displaystyle d={\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}}
ამიტომ
a
=
d
sin
α
{\displaystyle a=d\sin \alpha \quad }
b
=
d
sin
β
.
{\displaystyle \quad b=d\sin \beta .}
აქედან გამომდინარეობს, რომ
a
−
b
a
+
b
=
d
sin
α
−
d
sin
β
d
sin
α
+
d
sin
β
=
sin
α
−
sin
β
sin
α
+
sin
β
.
{\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {d\sin \alpha -d\sin \beta }{d\sin \alpha +d\sin \beta }}={\frac {\sin \alpha -\sin \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }}.}
ტრიგონომეტრიული იგივეობის გამოყენებით, ფუნქციის ჯამის გარდაქმნის ფორმულა კონკრეტულად სინუსებისთვის იქნება
sin
α
±
sin
β
=
2
sin
1
2
(
α
±
β
)
cos
1
2
(
α
∓
β
)
,
{\displaystyle \sin \alpha \pm \sin \beta =2\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha \pm \beta )\,\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha \mp \beta ),}
მივიღებთ
a
−
b
a
+
b
=
2
sin
1
2
(
α
−
β
)
cos
1
2
(
α
+
β
)
2
sin
1
2
(
α
+
β
)
cos
1
2
(
α
−
β
)
=
sin
1
2
(
α
−
β
)
cos
1
2
(
α
−
β
)
/
sin
1
2
(
α
+
β
)
cos
1
2
(
α
+
β
)
=
tan
1
2
(
α
−
β
)
tan
1
2
(
α
+
β
)
.
{\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {2\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )\,\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}{2\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )\,\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}}={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}{\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}}{\Bigg /}{\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}{\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}}={\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}{\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}}.}
იგივეობის გამოყენების ალტერნატივად ორი სინუსის ჯამისთვის ან სხვაობისთვის შეიძლება გამოვიყენოთ:
tan
1
2
(
α
±
β
)
=
sin
α
±
sin
β
cos
α
+
cos
β
{\displaystyle \tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha \pm \beta )={\frac {\sin \alpha \pm \sin \beta }{\cos \alpha +\cos \beta }}}
