რგოლი (მათემატიკა)

რგოლი – მათემატიკაში, კერძოდ აბსტრაქტულ ალგებრაში არის ალგებრული სტრუქტურა, რომელშიც განმარტებულია ორი ბინარული ოპერაცია და ისინი აკმაყოფილებენ გარკვეულ პირობებს.

პოლინომები ქმნიან პოლინომთა რგოლს შეკრებისა და კომპოზიციის მიმართ.

რგოლების მაგალითებია მთელ რიცხვები, პოლინომები, მატრიცები და ა.შ.

მათემატიკური განმარტება

რგოლი არის სტრუქტურა (R, +, *, 0, 1), სადაც R არის სიმრავლე, + და * წარმოადგენს ორ ოპერაციას (ხშირად მოიხსენიება, როგორც შეკრება და გამრავლება, თუმცა კერძო შემთხვევებში შეიძლება განსხვავდებოდეს მათი ჩვეულებრივი გაგებისგან) განმარტებულს ამ სიმრავლეზე, 0 და 1 კი ამ ოპერაციების ნეიტრალურ ელემენტებს, შესაბამისად. რგოლი, განმარტების თანახმად, აკმაყოფილებს შემდეგ აქსიომებს:

1. (R, +, 0) არის კომუტაციური ჯგუფი:

• (a + b) + c = a + (b + c)
• 0 + a = a + 0 = a
• ყოველი a–სთვის არსებობს ელემენტი -a (მოიხსენიება, როგორც მოპირდაპირე ელემენტი) ისეთი რომ, a + −a = −a + a = 0
• a + b = b + a (კომუტაციურობა)

2. (R, ·, 1) არის მონოიდი:

• (a·b)·c = a·(b·c)
• 1·a = a·1 = a

3. ოპერაციები დაკავშირებულია დისტრიბუციულობის აქსიომებით:

• a·(b + c) = (a·b) + (a·c)
• (a + b)·c = (a·c) + (b·c)

რგოლს, რომელშიც მონიოდი (R,·,1) კომუტაციურია, ანუ a·b=b·a, კომუტაციური რგოლი ეწოდება. მაგალითად, მთელი რიცხვების რგოლი და პოლინომთა რგოლი კომუტაციური რგოლებია, ხოლო მატრიცების რგოლი მოცემულ ველზე – არაკომუტაციური.

კომუტაციურ რგოლს, რომელშიც ყველა ნულისგან განსხვავებულ a ელემენტს გააჩნია შებრუნებული გამრავლების ოპერაციის მიმართ b, ანუ a·b = b·a = 1, ეწოდება ველი.