პირამიდა (გეომეტრიული ფიგურა)

პირამიდა (ძვ. ბერძნ. πυραμίς, ნათესაობითი ბრუნვა ბერძ. πυραμίδος) — მრავალწახნაგა, რომლის ერთი წახნაგი (რომელსაც ფუძე ეწოდება) — ნებისმიერი მრავალკუთხედია, ხოლო დანარჩენი წახნაგები (რომელთაც გგერდითი წახნაგები ეწოდებათ) — სამკუთხედები, რომელთაც აქვთ საერთო სიმაღლე. კუთხეების რაოდენობის მიხედვით ანსხვავებენ სამკუთხა პირამიდებს (ტეტრაედრი), ოთხკუთხა პირამიდებს და ა.შ.

ექვსკუთხა პირამიდა

პირამიდა კონუსის კერძო შემთხვევაა.

გეომეტრიაში პირამიდის განვითარების ისტორია

პირამიდის გეომეტრიის დასაწყისს საფუძველი ჩაეყარა ძველ ეგვიპტეში და ბაბილონეთში, მაგრამ აქტიური განვითარება დაიწყო ძველი საბერძნეთში. პირამიდის მოცულობის გამოთვლა ცნობილი იყო ძველი ეგვიპტელებისათვის. პირველი ბერძენი მათემატიკოსი, რომელმაც გამოთვალა თუ რისი ტოლი იყო პირამიდის მოცულობა, იყო დემოკრიტე, ხოლო დაამტკიცა ევდოქსე კნიდოსელმა. ძველმა ბერძენმა მათემატიკოსმა ევკლიდემ მოახდინა პირამიდის შესახებ ცოდნის სისტემატიზაცია თავისი საწყისების მე-12 ტომში, ასევე გააკეთა პირამიდის პირველი განსაზღვრება: სივრცითი ფიგურა, რომელიც შემოსაზღვრულია ერთ წერტილში შეკრებილი სიბრტყეებით (წიგნი მე-11, განსაზღვრება 12).

პირამიდის ელემენტები

SO — სიმაღლე
SF — აპოთემა
OF — ფუძეში ჩაწერილი წრის რადიუსი

• პირამიდის წვერი — გვერდითი წახნაგების საერთო წერტილი, რომელიც არ დევს ფუძის სიბრტყეში;
• ფუძე — წახნაგი, რომელის არ მიეკუთვნება პირამიდის წვერს;
• გვერდითი წახნაგები — სამკუთხა წახნაგები, რომლებიც ერთდებიან წვერში;
• გვერდითი კიდეები — კიდეები, რომლებიც წარმოადგენენ ორი გვერდითი წახნაგის მხარეს (და შესაბამისად, არ წარმოადგენენ ფუძის გვერდებს);
• პირამიდის სიმაღლე — პერპენდიკულარი პირამიდის წვერიდან მის ფუძეზე;
• აპოთემა — სწორი პირამიდის გვერდითი წახნაგის სიმაღლე, გავლებული მისი წვერიდან;
• პირამიდის დიაგონალური კვეთები — პირამიდის კვეთი, რომელიც გადის მის წვერზე და ფუძის დიაგონალზე.

პირამიდის გაშლა

სწორი ხუთკუთხედი პირამიდის გაშლა:
1. ფუძის სიბრტყეში („ვარსკვლავი“)
2. ერთ-ერთი გვერდითი წახნაგის სიბრტყეში

გაშლა ეწოდება ბრტყელ ფიგურას, რომელიც მიიღება გეომეტრიული სხეულის ზედაპირის ერთ სიბრტყესთან ერთად გამოყენებისას (წახნაგების, ან ზედაპირის სხვა ელემენტების ერთმანეთზე დადების გარეშე). ზედაპირის გაშლის შესწავლის დაწყება მიზანშეწონილია განვიხილოთ, როგორც მოქნილი ამოუწურავი პროცესი. ამ გზით წარმოდგენილი ზოგიერთი ზედაპირი შესაძლებელია მოხრის გზით შევუთავსოთ სიბრტყეს. ამასთან, თუ ზედაპირული მონაკვეთი შესაძლებელია შევუთავსოთ სიბრტყეს გახლეჩვისა და შეწებების გარეშე, მაშინ ასეთ ზედაპირს ეძახიან გაშლადს, ხოლო მიღებულ ბრტყელ ფიგურას — მის გაშლილს.

თვისებები

თუ ყველა გვერდითი კიდეები ტოლია, მაშინ:

• პირამიდის ფუძის გარშემო შესაძლებელია შემოვწეროთ გარშემოწერილობა, ამასთან პირამიდის წვერი დაპროექცირებულია მის ცენტრში;
• გვერდითი კიდეები წარმოქმნიან ფუძის სიბრტყის თანაბარ კუთხეებს;
• და პირიქითაც ასეა, ანუ თუ გვერდითი კიდეები ქმნიან ფუძის სიბრტყესთან ტოლ კუთხეებს, ან თუ პირამიდის ფუძესთან შესაძლებელია შემოვწეროთ გარშემოწერილობა, თანაც პირამიდის წვერი დაპროექცირებულია მის ცენტრში, მაშინ პირამიდის ყველა გვერდითი კიდე ტოლია.

თუ გვერდითი წახნაგები დახრილია ფუძის სიბრტყესთან ერთი კუთხით, მაშინ:

• პირამიდის ფუძეში შეიძლება ჩავწეროთ წრე, ამასთან პირამიდის წვერი დაპროექცირებულია მის ცენტრში;
• გვერდითი წახნაგების სიმაღლეები ტოლია;
• გვერდითი ზედაპირის ფართობი ტოლია ფუძის პერიმეტრის გვერდითი წახნაგის სიმაღლეზე ნამრავლის ნახევრისა.

თეორემები, რომლებიც აკავშირებენ პირამიდას სხვა გეომეტრიულ სხეულებთან

სფეროს შემოწერა სწორი პირამიდის გარშემო:
SD — პირამიდის სიმაღლე.
AD — წრის რადიუსი, რომელიც შემოწერს ფუძეს.
В — გვერდითი წახნაგის კიდის შუა ნაწილი
С — სიბრტყის გადაკვეთის წერტილი, რომელიც გადის კიდეების შუაში მათ პერპენდიკულარულად.
AC=CS — პირამიდის შემომწერი სფეროს რადიუსი

სწორ პირამიდაში ჩაწერილი სფერო:
D — ფუძის ცენტრი
SF — აპოთემა
ASD — კუთხის ბისექტორული სიბრტყე გვერდით წახნაგებს შორის
BCE — კუთხის ბისექტორული სიბრტყე ფუძესა და გვერდით წახნაგებს შორის
С — ყველა ბისექტორული სიბრტყის გადაკვეთის წერტილი
CK=CD — პირამიდაში ჩაწერილი სფეროს რადიუსი

სფერო

• პირამიდის გარშემო მაშინ შეიძლება შემოვწეროთ სფერო, როდესაც პირამიდის ფუძეში არსებობს მრავალკუთხედი, რომლის გარშემოც შესაძლებელია შემოიწეროს წრე (აუცილებელი და საკმარისი პირობა). სფეროს ცენტრი იქნება სიბრტყეების გადაკვეთის წერტილი, რომელიც გავლებულია პირამიდის კიდეების შუაში მათ პერპენდიკულარულად. ამ თეორემიდან გამომდინარეობს ის, რომ როგორც ნებისმიერი გარშემო სამკუთხადან, ასევე ნებისმიერი გარშემო სწორი პირამიდიდან შესაძლებელია შემოიწეროს სფერო;
• პირამიდაში შესაძლებელია ჩაიწეროს სფერო მაშინ, როდესაც პირამიდის შიდა ორწახნაგა კუთხეების ბისექტორული სიბრტყეები გადაიკვეთებიან ერთ წერტილში (აუცილებელი და საკმარისი პირობა). ეს წერტილი იქნება სფეროს ცენტრი.

კონუსი

• კონუსს ეწოდება პირამიდაში ჩაწერილი, თუ მათი წვეროები ემთხვევა, ხოლო მისი ფუძე ჩაწერილია პირამიდის ფუძეში. თანაც პირამიდაში კონუსის ჩაწერა შესაძლებელია მხოლოდ მაშინ, როდესაც პირამიდის აპოთემები ერთმანეთის ტოლია (აუცილებელი და საკმარისი პირობა);
• კონუსს ეწოდება პირამიდის გარშემო შემოწერილი, როდესაც მათი წვეროები ემთხვევა, ხოლო მისი ფუძე შემოწერილია პირამიდის ფუძის გარშემო. თანაც პირამიდის გარშემო კონუსის შემოწერილობა შესაძლებელია მხოლოდ მაშინ, როდესაც პირამიდის ყველა გვერდითი კიდე ერთმანეთის ტოლია (აუცილებელი და საკმარისი პირობა);
• ასეთი კონუსების და პირამიდების სიმაღლეები ერთმანეთის ტოლია.

ცილინდრი

• ცილინდრს ეწოდება პირამიდაში ჩაწერილი, თუ მისი ერთი ფუძე შეესაბამება პირამიდის კვეთაში ჩაწერილ წრიულ სიბრტყეს, ფუძესთან პარალელურს, ხოლო მეორე ფუძე მიეკუთვნება პირამიდის ფუძეს.
• ცილინდრს ეწოდება პირამიდის გარშემო შემოწერილი, თუ პირამიდის წვერი მიეკუთვნება მის ერთ ფუძეს, ხოლო მისი მეორე ფუძე შემოწერილია პირამიდის ფუძის გარშემო. თანაც პირამიდის გარშემო ცილინდრის შემოწერა შესაძლებელია მხოლოდ მაშინ, როდესაც პირამიდის ფუძეში არსებობს ჩაწერილი მრავალკუთხედი (აუცილებელი და საკმარისი პირობა).

პირამიდასთან დაკავშირებული ფორმულები

პირამიდის მოცულობა იანგარიშება ფორმულით:

𝑉 = 1/3 𝑆ℎ,

სადაც 𝑆 — ფუძის ფართობია და ℎ — სიმაღლე;

𝑉 = 1/6 𝑉_𝑝,

სადაც 𝑉_𝑝 — პარალელეპიპედის მოცულობაა;

• ასევე სამკუთხა პირამიდის (ტეტრაედრი) მოცულობა იანგარიშება ფორმულით:

𝑉 = 1/6 𝑎₁ 𝑎₂ 𝑑 sin 𝜑,

სადაც 𝑎₁, 𝑎₂ — გადამკვეთი კიდეები, 𝑑 — მანძილი 𝑎₁-სა და 𝑎₂-ს შორის, 𝜑 — კუთხე 𝑎₁-სა და 𝑎₂-ს შორის;

• გვერდითი ზედაპირი — ეს გვერდითი წახნაგების ფართობების ჯამია:

𝑆_𝑏=∑𝑆_𝑖

• მთლიანი ზედაპირი — ეს გვერდითი ზედაპირის და ფუძის ფართობების ჯამია:

𝑆_𝑝 = S_𝑏 + 𝑆_𝑜

• გვერდითი ზედაპირის ფართობის მოსაძებნად სწორ პირამიდაში შეიძლება გამოვიყენოთ ფორმულა:

𝑆_𝑏 = 1/2𝑃𝑎 = 𝑛/2𝑏²sin 𝛼

სადაც 𝑎 — აპოთემა, 𝑃 — ფუძის პერიმეტრი, 𝑛 — ფუძის გვერდების რიცხვი, 𝑏 — გვერდითი წახნაგი, 𝛼 — პირამიდის წვერის ბრტყელი კუთხე.

პირამიდის განსაკუთრებული შემთხვევები

სწორი პირამიდა

პირამიდას ეწოდება სწორი, თუ მისი ფუძეა სწორი მრავალკუთხედი, ხოლო წვერი დაპროექცირებულია ფუძის ცენტრში. ასეთ შემთხვევაში მას გააჩნია შემდეგი თვისებები:

• სწორი პირამიდის გვერდითი კიდეები ტოლია;
• სწორ პირამიდაში ყველა გვერდითი წახნაგი — კონგრუენტული ტოლფერდა სამკუთხედებია;
• ნებისმიერ სწორი პირამიდის გარშემო შესაძლებელია სფეროს როგორც ჩაწერა, ისევე შემოწერა;
• თუ ჩაწერილი და შემოწერილი სფეროების ცენტრები ერთმანეთს შეესაბამება, მაშინ პირამიდის წვერის ბრტყელი კუთხეების ჯამი ტოლია $\pi$, ხოლო თითოეული მათგანი შესაბამისად ${\textstyle {\frac {\pi }{n}}}$, სადაც $n$ — მრავალკუთხედის ფუძის გვერდების რაოდენობა;
• სწორი პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი ტოლია ფუძის პერიმეტრის აპოთემაზე ნამრავლის ნახევრისა.

მართკუთხა პირამიდა

პირამიდას ეწოდება მართკუთხა, თუ პირამიდის ერთი გვერდითი კიდე ფუძის პერპენდიკულარულია. მოცემულ შემთხვევაში ესაა კიდე და ის პირამიდის სიმაღლეა.

ტეტრაედრი

ტეტრაედრი ეწოდება მრავალწახნაგას, რომლის ზედაპირი შედგება ოთხი სამკუთხედისაგან. აქედან გამოდის, რომ ტეტრაედრი არის სამკუთხა პირამიდა. ტეტრაედრში ნებისმიერი წახნაგი შეიძლება მიჩნეული იქნეს პირამიდის ფუძედ. ამას გარდა, არსებობს დიდი განსხვავება ცნება „სწორ სამკუთხა პირამიდასა“ და ცნება „სწორ ტეტრაედრს“ შორის. სწორი სამკუთხა პირამიდა — ესაა პირამიდა სწორი სამკუთხედით ფუძეში (წახნაგები კი უნდა იყოს ტოლფერდა სამკუთხედები). სწორი ტეტრაედრია ისეთი ტეტრაედრი, რომლის ყველა წახნაგი არის სწორი სამკუთხედი.