დიფერენციალური აღრიცხვა

დიფერენციალური აღრიცხვა — მათემატიკის დარგი, რომელიც შეისწავლის ფუნქციის წარმოებულებს, დიფერენციალებს და მათი გამოყენების ხერხებს ფუნქციების გამოსაკვლევად.

ცნობები ისტორიიდან

რენე დეკარტმა სიბრტყეზე განლაგებული წირების შესასწავლად კოორდინატთა მეთოდი შემოიღო. ბუნების მეტყველების განვითარებამ აუცილებელი გახადა ფუნქციის ცვლილებების გამოკვლევა. განსაკუთრებით ისეთი ფუნქციებისა, რომლებიც მოძრავი სხეულების კოორდინატებისა და სხვა ფიზიკური სიდიდეების დროზე დამოკიდებულებას გამოსახავენ. წარმოებული გამოიყენებოდა ფუნქციის ექსტრემუმების მოსაძებნად, სხვადასხვაგვარი წირების მხების მოსაძებნად და ა.შ. რენე დეკარტის, პიერ ფერმას და ბლეზ პასკალის პირველი შრომები არსებითად უკვე შეიცავდნენ ნებისმიერი მრავალწევრის წარმოებულის მოძებნის წესებას.

ამჟამად მათემატიკურ ანალიზს მათემატიკის იმ ნაწილს უწოდებენ, რომელიც დიფერენციალურ და ინტეგრალურ აღრიცხვას შეიწავლის. სისტემური მოძღვრება წარმოებულის შესახებ — დიფერენციალური აღრიცხვა განავითარეს გერმანელმა მატემატიკოსმა და ფილოსოფმა გოტფრიდ ლაიბნიცმა (1646-1716) და ინგლისელმა მათემატიკოსმა და თანამედროვე მათემატიკური ბუნებისმეტყველების ფუძემდებელმა ისააკ ნიუტონმა (1643-1727).

რიცხვითი ფუნქციის ისეთი განსაზღვრება, რომელიც ამ ცნებას მოცემის ხერხისგან ათავისუფლებდა ერთმანეთისგან დამოუკიდებლად ჩამოაყალიბეს რუსმა მათემატიკოსმა ნიკოლოზ ლობაჩევსკიმ 1834 წელს და გერმანელმა მათემატიკოსმა პეტერ გუსტავ ლეჟენ დირიხლემ 1837 წელს. ამ განსაზღვრებათა ძირითადი იდეა ის იყო, რომ არ არის არსებითი, თუ თითოეულ X-ს როგორ შეესაბამება გარკვეული T(X) მნიშვნელობა. მნიშვნელოვანია მხოლოდ ის, რომ ეს შესაბამისობა დამყარებულია.

ფუნქციის ზღვარი

ფუნქციის ზღვრის ცნების თვალსაჩინო აზრი XVII საუკუნის მათემატიკოსისათვის ნათელი იყო. მათ შეეძლოთ ზღვრების სწორად პოვნა, მაგრამ მიმდევრობის ზღვრისა და ფუნქციის ზღვრის ცნებების მკაცრი განსაზღვრებები, რომლებიც დღემდეა შენარჩუნებული, მხოლოდ ფრანგი მატემატიკოსის ოგიუსტენ ლუი კოშის (1784-1857) მიერ იყო მოცემული და დიდხანს ყველასთვის არ იყო გასაგები.

ოგიუსტენ ლუი კოშის თანახმად ფუნქციის ზღვრის განსაზღვრება ასე ჩამოყალიბდება: „A რიცხვს ეწოდება f(x) ფუნქციის ზღვარი, როდესაც x მიისწრაფვის a-სკენ, თუ ნებისმიერი ε>0 რიცხვისათვის შეიძლება შევარჩიოთ ისეთი γ>0 რიცხვი |f(x)-A|<ε ყველა იმ x-ისათვის, რომელიც 0<|x-a|<γ უტოლობას აკმაყოფილებს“.

f(x)≈A მიახლოებითი ტოლობა, როდესაც x≈a, შეიძლება ნებისმიერი წინასწარ მოცემული სიზუსტით შესრულდეს. მართლაც |f(x)-A| გამოსახულება არის f(x)≈A მიახლოებითი ტოლობის აბსოლუტური ცდომილება. ის, რომ f(x)≈A მიახლოებითი ტოლობა, როდესაც x≈a, სრულდება ნებისმიერი, წინასწარ მოცემული სიზუსტით, ნიშნავს შემდეგს: გამოთვლის რა სიზუსტეც უნდა ავიღოთ, x≈a მიახლოებითი ტოლობის აბსოლუტური ცოდმილებისათვის შეგვიძლია შევარჩიოთ ისეთი საზღვარი მას დადებითი γ რიცხვით აღნიშნავენ, რომ, როდესაც 0<|x-a|<γ, მაშინ f(x)≈A მიახლოებითი ტოლობის ცდომილებისა, გამოთვლის მოცემული სიზუსტის საზღვრებში დარჩება, ე.ი. |f(x)-A|<ε.

მაგალითისათვის მოვიყვანოთ შემდეგი f(x)→A და g(x)→B, როდესაც x→a, მაშინ f(x)+g(x)→A+B, როდესაც x→a. ავიღოთ ნებისმიერი დადებითი ε რიცხვი, მაშინ ε/2>0 და ამიტომ :

1. f(x)→A, როდესაც x→a პირობიდან გამომდინარეობს, რომ შეიძლება შევარჩიოთ ისეთი γ₁>0 რიცხვი, რომ

|f(x)-A|<ε/2

ყველა იმ x-სათვის, რომლებიც 0<|x-a|<γ₁ უტოლობას აკმაყოფილებს.

2. g(x)→B, როდესაც x→a, პირობიდან გამომდინარეობს,რომ შეიძლება შევარჩიოთ ისეთი γ₂>0 რიცხვი, რომ

|g(x)-B|<ε/2

ყველა იმ x-სათვის, რომლებიც 0<|x-a|<γ₂ უტოლობას აკმაყოფილებს. γ₁ და γ₂ რიცხვებიდან უმცირესი ავღნიშნოთ γ-თი. მაშინ ნებისმიერი x-სათვის, რომელიც 0<|x-a|<γ უტოლობას აკმაყოფილებს, შესრულდება (1) და (2) უტოლობები. ამ x-ებისათვის გვაქვს : |(f(x)+g(x))-(A+B)|=|(f(x)-A)+(g(x)-B)|<=(ნაკლები ან ტოლი)|f(x)-A|+|g(x)-B|<ε/2+ε/2=ε

ამით დამტკიცდა, რომ f(x)+g(x)→A+B, როდესაც x→a. დანარჩენი წესები ანალოგიურად მტკიცდება.

XVII საუკუნეში მატემატიკაში მომხდარი ძირეული გადატრიალების მკაფიო დახასიათება მოგვცეს კარლ მარქსმა და ფრიდრიხ ენგელსმა. ენგელსი წერდა: „მათემატიკაში მობრუნების პუნქტი იყო დეკარტის ცვლადი სიდიდე. ამის წყალობით მათემატიკაში შევიდა მოძრაობა და დაიალექტიკა“.

XVII საუკუნის ბევრი მათემატიკოსის ლოზუნგი ასეთი იყო : „იარეთ წინ და შედეგების სისწორის რწმენა თქვენთან მოვა“.

მატემატიკური ანალიზის საწყისებმა მხოლოდ XIX საუკუნეში კოშის შრომების შემდეგ მიიღო ლოგიკური დასაბუთება. კერძოდ, ამისთვის აუცილებელი იყო ნამდვილ რიცხვთა მკაცრი თეორია. ეს თეორია კი მხოლოდ XIX საუკუნის მეორე ნახევარში განავითარეს ვაიერშტრასმა, დედეკინდმა და გეორგ კანტორმა.

ფუნქციის წარმოებული

ვთქვათ $y=f(x)$ ფუნქცია განსაზღვრულია $x_{0}$ წერტილის რაიმე მიდამოში, ხოლო $x$ წარმოადგენს ამ მიდამოს $x_{0}$-საგან განსხვავებულ ნებისმიერ წერტილს.

$x-x_{0}$ სხვაობას ეწოდება არგუმენტის ნაზრდი $x_{0}$ წერტილში და $\Delta x$ სიმბოლოთი აღინიშნება, ე.ი. $\Delta x=x-x_{0}$, საიდანაც $x=x_{0}+\Delta x$. $f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})$ სხვაობას ეწოდება ფუნქციის ნაზრდი $x_{0}$ წერტილში და $\Delta f(x_{0})$, ან $\Delta y$ სიმბოლოთი აღინიშნება, ე.ი.

$\Delta f(x_{0})=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0}).$

შევნიშნოთ, რომ $\Delta x$ შეიძლება იყოს როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი, მაგრამ არ შეიძლება იყოს ნულის ტოლი, ფუნქციის ნაზრდი კი შეიძლება იყოს ნებისმიერი ნამდვილი რიცხვი.

განსაზღვრება $x_{0}$ წერტილში $f(x)$ ფუნქციის ნაზრდის არგუმენტის ნაზრდთან ფარდობის ზღვარს, როდესაც არგუმენტის ნაზრდი მიისწრაფვის ნულისაკენ (თუ ეს ზღვარი არსებობს), ამ წერტილში ფუნქციის წარმოებული ეწოდება და $y'$, $f'(x_{0})$, ${\frac {dy}{dx}}$, ან ${\frac {df(x_{0})}{dx}}$ სიმბოლოთი აღინისნება, ე.ი.,

$f'(x_{0})=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta f(\Delta x_{0})}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}$

მაგალითად,y=x² ფუნქციის წარმოებული x წერტილში არის 2x.
მართლაც

$y'=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(x+\Delta x)^{2}-x^{2}}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {x^{2}+2x\Delta x+(\Delta x)^{2}-x^{2}}{\Delta x}}$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {2x\Delta x+(\Delta x)^{2}}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}(2x+\Delta x)=2x$

ცალკე განვიხილოთ მუდმივის წარმოებული და ვაჩვენოთ, რომ იგი ნულის ტოლია. მართლაც,

$c'=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {c-c}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {0}{\Delta x}}=0$

მოვიყვანოთ წარმოებულის გეომეტრიული შინაარსი : f(x) ფუნქციის წარმოებული x₀ წერტილში წარმოადგენს ამ ფუნქციის გრაფიკის(x₀, f(x₀))წერტილში გამავალი მხების კუთხურ კოეფიციენტს.

მართლაც, თუ (x₀, f(x₀)) წერტილში გამავალი AC მხებს განვიხილავთ როგორც წრფეს,რომელიც მიირება AB მონაკვეტიდან, როდესაც B წერტილის მიისწრაფვის A-სკენ, ე.ი. დელტა იქსი მიისწრაფვის ნულისაკენ (იხ. სურ.) მაშინ ცხადია, რომ

$\lim _{\Delta x\to 0}\beta =\alpha$

და

$tg\alpha =\lim _{\Delta x\to 0}tg\beta =\lim {\frac {\Delta y}{\Delta x}}=f'(x_{0})$

y=f(x) ფუნქციის გრაფიკი (x₀,y₀) წერტილში გამავალი მხების განტოლებას აქვს სახე:

$y-y_{0}=f'(x_{0})(x-x_{0})$ (1)

სადაც $y_{0}=f(x_{0})$. მართლაც ცხადია, რომ (1) წარმოადგენს ($x_{0}$, $y_{0}$) წერტილში გამავალი წრფის განტოლებას (ამ წერტილის კოორდინატები აკმაყოფილებენ (1) განტოლებას) და მისი კუთხური კოეფიციენტია $f'(x_{0})$.

გამოვარკვიოთ წარმოებულის მექანიკური შინაარსი. ვთქვათ წერტილის მოძრაობის განტოლებაა $s=s(t)$, რომლის მიხედვითაც დროის ნებისმიერ მომენტში შეიძლება გამოვიანგარიშოთ განვლილი მანძილი. როგორც ცნობილია, დროის რაიმე მონაკვეთში $\Delta t$ მონაკვეთში მოძრაობის საშუალო სიჩქარე გამოითვლება ფორმულით:

$V={\frac {s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}}={\frac {\Delta s}{\Delta t}}$

რომელიც მით უკეთესად ახასიათებს წერტილის სიჩქარეს $t$ მომენტში, რაც უფრო მცირეა $\Delta t$. ამიტომ

$S'(t)=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta s}{\Delta t}}$

შეიძლება განვიხილოთ, როგორც მყისი სიჩქარე $t$ მომენტში.

თუ რაიმე წერტილში ფუნქციას გააჩნია წარმოებული, მაშინ ფუნქციას წარმოებადი ეწოდება ამ წერტილში. ფუნქციას ეწოდება წარმოებადი შუალედში, თუ იგი წარმოებადია ამ შუალედის თითოეულ წერტილში.

ჯამის, ნამრავლის და ფარდობის წარმოებული

თეორემა 1

თუ u(x) და v(x) წარმოებადი ფუნქციებია x წერტილში, მაშინ მათი ჯამიც წარმოებადია ამ წერტილში და

(u(x)+v(x))'=u'(x)+v'(x).

თეორემა 2

თუ u(x) და v(x) წარმოებადი ფუნქციებია x წერტილში,მაშინ მათი ნამრავლიც წარმოებადია ამ წერტილში და

(u(x)*v(x))'=u'(x)*v(x)+v'(x)*u(x).

თეორემა 3

თუ u(x) ფუნქცია წარმოებადია x წერტილში,ხოლო c რაიმე მუდმივია, მაშინ c*u(x) ფუნქციაც წარმოებადია ამ წერტილში და

(c*u(x))’=c*u'(x)

ე.ი. მუდმივი მამრავლი შეიძლება გავიტანოთ წარმოებულის ნიშნის გარეთ.

თეორემა 4

თუ u(x) და v(x) წარმოებადი ფუნქციაებია x წერტილში,ამასთან v არ უდრის ნულს,მაშინ u(x)/v(x) ფარდობაც წარმოებადია ამ წერტილში და

(u(x)/v(x))’=(u’(x)v(x)-u(x)v'(v))/ v*v(x).

რთული ფუნქციის წარმოებული / შექცეული ფუნქციის წარმოებული

ვთქვათ D სიმრავლეზე განსაზღვრულია u=Ф(x) ფუნქცია,ხოლო ამ მნიშვნელობათა E სიმრავლე წარმოადგენს რაიმე G სიმრავლის ქვესიმრავლეს,რომელზეც თავის მხრივ განსაზღვრულია y=f(u) ფუნქცია.მაშინ D სიმრავლის ყოველი x მნიშვნელობას შეესაბამება u-ს ერთადერთი მნიშვნელობა E-დან,რომელსაც თავის მხრივ შეესაბამება y-ის ერთადერთი მნიშვნელობა.ამგვარად x-ის ყოველ მნიშვნელობას D-დან შეესაბამება y-ის ერთადერთი მნიშვნელობა,რაც იმას ნიშნავს რომ y არის x-ის ფუნქცია.აღვნიშნოთ იგი F(x)-ით.ცხადია რომ

y=F(x)=f(Ф(x)).

ასეთ შემთხვევაში ამბობენ რომ F არის რთული ფუნქცია შედგენილი Ф და f ფუნქციებით.

თეორემა 1

თუ u=Ф(x) ფუნქცია წარმოებადია რაიმე X₀ წერტილში,ხოლო y=f(u) ფუნქცია-ამ წერტილის შესაბამისი u₀=Ф(x₀) წერტილში,მაშინ y=f(Ф(x)) რთული ფუნქცია წარმოებადია x₀ წერტილში და
y'=f'(u₀)*Ф'(x₀).

თეორემა 2

ვთქვათ y=f(x) და x=g(y) ურთიერთ შექცეული ფუნქციებია და f ფუნქციას x₀ წერტილში გააჩნია ნულისაგან განსხვავებული წარმოებული,მაშინ g ფუნქციის წარმოებული y₀=f(x₀) წერტილში არსებობს და

g'(y₀)=1/f'(x₀).

მეორე რიგის წარმოებული და მისი გამოყენება

ვთქვათ მოცემულია y=f(x) ფუნქცია,რომელიც წარმოებადია რაიმიე G სიმრავლეზე.მაშინ ცხადია,რომ f’(x) აგრეთვე წარმოადგენს ფუნქციას განსაზღვრულს G სიმრავლეზე და შეიძლება ლაპარაკი მის წარმოებულზე.

Y=f(x) ფუნქციის წარმოებულის წარმოებულს მოცემული ფუნქციის მეორე რიგის წარმოებული ეწოდება და y’’ ან f’’(x) სიმბოლოთი აღინიშნება. მაგალითად y=sin²x ფუნქციისთვის y’=2sinxcosc=sin2x,ხოლო y’’=cos²x. f(x) ფუნქციის მეორე რიგის წარმოებულის გამოყენებით შეიძლება დავადგინოთ ექსტრემუმის არსებობის კიდევ ერთი პირობა.

თეორემა 1

თუ f’’(x) ფუნქცია უწყვეტია x₀ წერტილის რაიმე მიდამოში,f’(x₀)=0 და f’’(x₀)≠0 მაშინ x₀ წარმოადგენს f(x) ფუნქციის ექსტრემუმის წერტილს,ამასთან
თუ f’’(x₀)<0,მაშინ x₀-მაქსიმუმის წერტილია
თუ f’’(x₀)>0,მაშინ x₀-მინიმუმის წერტილია
მეორე რიგის წარმოებულით ფუნქციის გამოკვლევა შეიძლება უფრო სრულყოფილად ჩავატაროთ,კერძოდ შეიძლება დავადგინოთ ფუნქციის გრაფიკის ამოზნექილობა ჩაზნექილობის უბნები,გადაღუნვის წერტილები. განსაზღვრება.y=f(x) ფუნქციის გრაფიკს ეწოდება ამოზნექილი რაიმე შუალედში,თუ ნებისმიერი X წერტილისათვის მოცემული შუალედიდან ფუნქციის გრაფიკის ამ შუალედის შესაბამისი ნაწილი (x,f(x)) წერტილში გავლებული მხების ქვემოთ მდებარეობს. განსაზღვრება. y=f(x) ფუნქციის გრაფიკს ეწოდება ჩაზნექილი რაიმე შუალედში,თუ ნებისმიერი X წერტილისათვის მოცემული შუალედიდან ფუნქციის გრაფიკის ამ შუალედის შესაბამისი ნაწილი (x,f(x)) წერტილში გავლებული მხების ზემოთ მდებარეობს. განსაზღვრება.(x₀,f(x₀)) წერტილს ეწოდება f(x) ფუნქციის გადაღუნვის წერტილი,თუ ამ წერტილში გრაფიკის ამოზნექილობა იცვლება ჩაზნექილობით,ან ჩაზნექილობა - ამოზნექილობით. მაგალითად პირველ ნახაზზე გამოსახული ფუნქციის გრაფიკი ამოზნექილია ]-∞,a[ და ]b,+∞[ სუალედებში,ხოლო ]a,b[ შუალედში ჩაზნექილია,ამ ფუნქციის გრაფიკის გადაღუნვის წერტილებია M და N.

თეორემა 2

თუ ფუნქციის მეორე რიგის წარმოებული დადებითია რაიმე შუალედში, მაშინ ამ შუალედში ფუნქციის გრაფიკი ჩაზნექილია. თუ ფუნქციის მეორე რიგის წარმოებული უარყოფითია რაიმე შუალედში, მაშინ ამ შუალედსი ფუნქციის გრაფიკი ამოზნექილია.

ლიტერატურა

• Виноградов И.М. (ред.) Математическая энциклопедия. Том 2. Москва: Советская энциклопедия, 1977 г.