ვიკიპედია

წარმოებული: განსხვავება გადახედვებს შორის

ისტორიის ინტერაქციულად გადახედვა
[შემოწმებული ვერსია][შეუმოწმებელი ვერსია]
← წინა ცვლილებაშემდეგი ცვლილება →
შიგთავსი ამოიშალა შიგთავსი დაემატა
ვიზუალურივიკიტექსტი
No edit summary
No edit summary
ხაზი 1:
{{წყარო}}
{{ვიკი}}
'''წარმოებული''' — ცნება [[მათემატიკური ანალიზი|მათემატიკურ ანალიზში]].
 
<references />'''წარმოებული''' არის მათემატიკური ანალიზის ერთერთი ძირითადი ცნება და ერთი ნამდვილი ცვლადის <math>f
ვთქვათ <math>y=f(x)</math> ფუნქცია განსაზღვრულია <math>x_0</math> წერტილის რაიმე მიდამოში, ხოლო <math>x</math> წარმოადგენს ამ მიდამოს <math>x_0</math>-საგან განსხვავებულ ნებისმიერ წერტილს.
</math> ფუნქციის შემთხვევაში გვიჩვენებს რაიმე <math>x_0
</math>წერტილის მიდამოში არგუმენტის <math>x-x_0
</math> ცვლილებასთან შედარებით როგორია ფუნქციის მნიშვნელობის შესაბამისი ცვლილება <math>f(x)-f(x_0)
</math>. სხვა სიტყვებით გვიჩვენებს ფუნქციის ცვლილების სიჩქარეს მოცემული <math>x_0
</math> წერტილის მიდამოში.
 
'''განსაზღვრება''': ერთი ნამდვილი ცვლადის <math>f:[a,\;b] \to R</math> ფუნქციის '''წარმოებული''' <math>x_0\in ]a,\; b[</math> წერტილში აღინიშნება სიმბოლოთი <math> f'(x_0)</math> და
<math>x-x_0</math> სხვაობას ეწოდება არგუმენტის ნაზრდი <math>x_0</math> წერტილში და <math>\Delta x</math> სიმბოლოთი აღინიშნება, ე.ი. <math>\Delta x=x-x_0</math>, საიდანაც <math>x=x_0+\Delta x</math>. <math>f(x_0+\Delta x)- f(x_0)</math> სხვაობას ეწოდება ფუნქციის ნაზრდი <math>x_0</math> წერტილში და <math>\Delta f(x_0)</math>, ან <math>\Delta y</math> სიმბოლოთი აღინიშნება, ე.ი.
 
<math> \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.
<div style='text-align: center;'>
</math>
<math>\Delta f(x_0) = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0).</math>
</div>
 
თუ <math>x_0=a</math> ან <math>x_0=b</math>, მაშინ უკანასკნელ ტოლობაში განვიხილავთ შესაბამისად მარჯვენა და მარცხენა ზღვრებს, ხოლო რიცხვებს <math>f'(a)</math> და <math>f'(b)</math> ვუწოდებთ შესაბამისად '''მარცხენა''' და '''მარჯვენა''' წარმოებულებს. თუ <math> x_0</math> წერტილში არგუმენტისა და ფუნქციის ნაზრდებისათვის შემოვიღებთ შესაბამისად აღნიშვნებს <math> \Delta x=x-x_0\;\;\text{დ ა}\;\; \Delta f(x_0)=f(x)-f(x_0)</math>, მაშინ წინა ტოლობა შეიძლება შემდეგი ექვივალენტური ფორმითაც ჩაიწეროს
შევნიშნოთ, რომ <math>\Delta x</math> შეიძლება იყოს როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი, მაგრამ არ შეიძლება იყოს ნულის ტოლი, ფუნქციის ნაზრდი კი შეიძლება იყოს ნებისმიერი ნამდვილი რიცხვი.
 
<math>(1)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta)-f(x_0)}{\Delta x}\;\;\text{დ ა}\;\;f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f(x_0)}{\Delta x}. </math>
'''განსაზღვრება''' <math>x_0</math> წერტილში <math>f(x)</math> ფუნქციის ნაზრდის არგუმენტის ნაზრდთან ფარდობის ზღვარს, როდესაც არგუმენტის ნაზრდი მიისწრაფვის ნულისაკენ (თუ ეს ზღვარი არსებობს), ამ წერტილში ფუნქციის წარმოებული ეწოდება და <math>y'</math>, <math>f'(x_0)</math>, <math>\frac{dy}{dx}</math>, ან <math>\frac{df(x_0)}{dx}</math> სიმბოლოთი აღინიშნება, ე.ი.,
 
წარმოებულის განსაზღვრებიდან ცხადია, რომ ფუნქცია <math>\varepsilon (x)= \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}-f'(x_0)
<div style='text-align: center;'>
</math> აკმაყოფილებს ტოლობას <math>\lim\limits_{x\to x_0}\varepsilon (x)=0 </math>. ამიტომ უტოლობიდან <math>|f(x)-f(x_0)|\leq |f'(x_0)(x-x_0)|+|\varepsilon (x)(x-x_0)|
<math>f'(x_0)= \lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f(\Delta x_0)}{\Delta x}= \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0 + \Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}</math>
</math>, გამომდინარეობს <math>f
</div>
</math> ფუნქციის უწყვეტობა <math>x_0
</math> წერტილში. ამდენად <math>f'(x_0)
</math> წარმოებულის არსებობიდან გამომდინარეობს <math>f
</math> ფუნქციის უწყვეტობა <math>x_0
</math> წერტილში. შეიძლება ფუნქცია იყოს უწყვეტი რაიმე წერტილში მაგრამ არ იყოს წარმოებადი ამ წერტილში. მაგალითად უწყვეტ ფუნქციას <math>f(x)=|x|
</math> არ გააჩნია წარმოებული <math>f'(0)
</math>. მეტიც, 1872 წელს [[:en:Karl_Weierstrass|ვაიერშტრასმა]] ააგო პირველი მაგალითი უწყვეტი ფუნქციისა [[:en:Weierstrass_function|(ვაიერშტრასის ფუნქცია)]] რომელსაც არცერთ წერტილში არ გააჩნია წარმოებული.
 
თუ ფუნქციას <math>f:[a,\; b]\to R </math> ყოველ <math>x_0\in [a,\, b]</math> წერტილში გააჩნია წარმოებული, მაშინ ფუნქციას, რომელიც ყოველ <math>x_0\in [a,\, b]</math> რიცხვს შეუსაბამებს რიცხვს <math>f'(x_0)</math> აღვნიშნავთ სიმბოლოთი <math>f'</math> და ვუწოდებთ <math>f</math> ფუნქციის წარმოებულს. ცნობილია, რომ ყოველ წერტილში წარმოებადი <math>f</math> ფუნქციის წარმოებულ <math>f'
მაგალითად,y=x<sup>2</sup> ფუნქციის წარმოებული x წერტილში არის 2x.<br />
</math> ფუნქციას არ გააჩნია პირველი გვარის წყვეტები<ref>W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis. 1953; 3rd ed., 1976, 342 pp.</ref>.
მართლაც
<div style='text-align: center;'>
<math>y'= \lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{(x+\Delta x)^2 - x^2}{\Delta x}= \lim_{\Delta x\to 0}\frac{x^2 +2x\Delta x + (\Delta x)^2 - x^2}{\Delta x}</math>
 
თუ <math>f'
<math>= \lim_{\Delta x\to 0}\frac{2x\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0}(2x +\Delta x)=2x</math>
</math> ფუნქცია წარმოებადია, მაშინ მისი გაწარმოებით მივიღებთ ფუნქციას <math>f''
</div>
</math>, რომელსაც ეწოდება <math>f
ცალკე განვიხილოთ მუდმივის წარმოებული და ვაცვენოთ, რომ იგი ნულის ტოლია. მართლაც,
</math> ფუნქციის '''მეორე რიგის წარმოებული'''. ანალოგიურად <math>f''
</math> ფუნქციის წარმოებადობის შემთხვევაში მივიღებთ <math>f'''
</math> -მესამე რიგის წარმოებულს. საზოგადოდ <math>n-
</math>ური რიგის წარმოებულს აღნიშნავენ სიმბოლოთი <math>f^{(n)}
</math>და
 
<math>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; f^{(n)}(x_0)=(f^{(n-1)}(x_0))'=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}(x_0)}{x-x_0}\;\;\;\;(n\in N),
<div style='text-align: center;'>
</math>
<math>c'= \lim_{\Delta x\to 0}\frac{c-c}{\Delta x}= \lim_{\Delta x\to 0}\frac{0}{\Delta x}=0</math>
</div>
 
სადაც <math>f^{(0)}:=f
მოვიყვანოთ წარმოებულის გეომეტრიული შინაარსი : f(x) ფუნქციის წარმოებული x<sub>0</sub> წერტილში წარმოადგენს ამ ფუნქციის გრაფიკის(x<sub>0</sub>, f(x<sub>0</sub>))წერტილში გამავალი მხების კუთხურ კოეფიციენტს.
</math> . ხშირად, [[ჟოზეფ ლუი ლაგრანჟი|ლაგრანჟის]] მიერ შემოღებული <math>f', f'', \cdots , f^{(n)}</math>, აღნიშვნების ნაცვლად გამოიყენება [[გოტფრიდ ლაიბნიცი|ლაიბნიცის]] აღნიშვნები <math>\frac{df}{dx}, \frac{d^2f}{dx^2}, \cdots , \frac{d^nf}{dx^n}</math> შესაბამისად, ხოლო დაბალი რიგის წარმოებულებისათვის [[ისააკ ნიუტონი|ნიუტონის]] მიერ შემოღებული აღნიშვნები <math>\dot{f}, \ddot{f}. </math> ლაიბნიცის მიხედვით, წარმოებულის მნიშვნელობისათვის <math>x_0
</math> წერტილში გამოიყენება აღნიშვნები <math display="inline">\frac{d^{n}f}{dx^{n}} \bigg\vert_{x=x_0} \;\;\text{ან}\;\;\;\; \frac{d^{n}f}{dx^{n}}(x_0) </math>.
 
თუ ფუნქციას გააჩნია თავის განსაზღვრის არეზე უწყვეტი წარმოებული, მას უწოდებენ ხოლმე '''[[:en:Smoothness|გლუვს]].'''
მართლაც, თუ (x<sub>0</sub>, f(x<sub>0</sub>)) წერტილში გამავალი AC მხებს განვიხილავთ როგორც წრფეს,რომელიც მიირება AB მონაკვეტიდან, როდესაც B წერტილის მიისწრაფვის A-სკენ, ე.ი. დელტა იქსი მიისწრაფვის ნულისაკენ (იხ. სურ.) მაშინ ცხადია, რომ
 
== წარმოებულის გეომეტრიული შინაარსი ==
<div style='text-align: center;'>
[[ფაილი:Tangent anim.gif|მინი|ნახ.1]]
<math>\lim_{\Delta x\to 0}\beta = \alpha</math>
 
ავაგოთ ფუნქციის გრაფიკის [[:en:Tangent|მხები]] წერტილში. ამისთვის ჯერ გავიხსენოთ მხების ლაიბნიცისეული განსაზღვრება, რომ მოცემული წირის <math>A</math> წერტილში გავლებული მხები არის წრფე, რომელიც გადის <math>A</math> და მასთან უსასრულოდ მიახლოვებულ <math>B</math> წერტილებზე. მოყვანილი განსაზღვრება პირდაპირ გვკარნახობს როგორ უნდა ავაგოთ მოცემული წირის მოცემულ <math>A </math> წერტილზე გამავალი მხები (ნახ.1). უწყვეტი <math>f</math> ფუნქციის გრაფიკის <math>A(x_0, \;f(x_0))</math> წერტილში მხების ასაგებად, <math>x_0</math> წერტილის მცირე მიდამოში განვიხილოთ ნებისმიერი <math>x_1:=x_0+\Delta x\;(\Delta x\not=0)</math> წერტილი და <math>f</math> ფუნქციის გრაფიკზე ავიღოთ შესაბამისი <math>B(x_0+\Delta x,\;f(x_0+\Delta x))</math> წერტლი. ადვილი შესამოწმებელია, რომ <math>A</math> და <math>B</math> წერტილების შემაერთებელი წრფის (გრაფიკის ქორდის) განტოლება იქნება
და
 
<math>(2)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \ell_{\text{ქორდ}}(x)=\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}(x-x_0)+f(x_0)
<math>tg\alpha = \lim_{\Delta x\to 0}tg\beta = \lim\frac{\Delta y}{\Delta x} = f'(x_0)</math>
</divmath>.
[[ფაილი:Mxebi444.jpg|მინი|ნახ. 2]]
 
ახლა თუ <math>x_1
<div style='text-align: center;'>
[[ფაილი:graphic.jpg]]
</div>
 
</math> წერტილით მივუახლოვედებით <math>x_0
y=f(x) ფუნქციის გრაფიკი (x<sub>0</sub>,y<sub>0</sub>) წერტილში გამავალი მხების განტოლებას აქვს სახე:
 
</math> წერტილს, შესაბამისად <math>B
<div style='text-align: center;'>
</math> წერტილიც მიუახლოვდება <math>A
<math>y-y_0 = f'(x_0)(x - x_0)</math> — (1)
</math> წერტილს და <math>\ell_{\text{ქორდ}}
</div>
</math> ქორდა გადაიქცევა მხებად თუ კი ასეთი არსებობს. ანუ <math>\ell_{\text{მხებ}}
</math>მხების განტოლების მისაღებად საჭიროა (2) ტოლობაში გადავიდეთ ზღვარზე <math>x_1\to x_0 \;(\Delta x\to 0)
</math>, და თუ ეს ზღვარი არსებობს, (1) ტოლობის გათვალისწინებით მივიღებთ
 
<math>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \ell_{\text{მხებ}}(x)=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)
სადაც <math>y_0=f(x_0)</math>. მართლაც ცხადია, რომ (1) წარმოადგენს (<math>x_0</math>, <math>y_0</math>) წერტილში გამავალი წრფის განტოლებას(ამ წერტილის კოორდინატები აკმაყოფილებენ (1) განტოლებას) და მისი კუთხური კოეფიციენტია <math>f'(x_0)</math>.
</math>.
 
უკანასკნელი ტოლობის თანახმად ფუნქციის წარმოებული წერტილში ყოფილა ამ წერტილში გავლებული მხების განტოლების <math>k</math> კუთხური კოეფიციენტის ტოლი, რომელიც როგორც ცნობილია განისაზღვრება ტოლობიდან <math>k=\tan \alpha</math>, სადაც <math>\alpha</math> არის კუთხე მხებსა და <math>OX</math> ღერძის დადებით მიმართულებას შორის (ნახ. 2), და ამიტომ სამართლიანია ტოლობა <math>f'(x_0)=\tan \alpha</math>.
გამოვარკვიოთ წარმოებულის მექანიკური შინაარსი. ვთქვათ წერტილის მოძრაობის განტოლებაა <math>s=s(t)</math>, რომლის მიხედვითაც დროის ნებისმიერ მომენტში შეიძლება გამოვიანგარიშოთ განვლილი მანძილი. როგორც ცნობილია, დროის რაიმე მონაკვეთში <math>\Delta t</math> მონაკვეთში მოძრაობის სასუალო სიჩქარე გამოითვლება ფორმულით:
 
== კავშირი ფუნქციასა და მის პირველ და მეორე წარმოებულებს შორის. ==
<div style='text-align: center;'>
წამოებულის განსაზღვრების თანახმად თუ <math>f'(x_0)> 0</math> მაშინ <math>\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}> 0
<math>V = \frac{s(t + \Delta t) - s(t)}{\Delta t}= \frac{\Delta s}{\Delta t}</math>
</math> როდესაც <math>x
</div>
</math> საკმარისად ახლოსაა <math>x_0
</math> წერტილთან, რაც ნიშნავს <math>f
</math> ფუნქციის '''მკაცრად ზრდადობას''' <math>x_0
</math> წერტილში. ანალოგიურად თუ <math>f'(x_0)<0
</math> მაშინ ფუნქცია <math>f
</math> '''მკაცრად კლებადია''' <math>x_0
</math> წერტილში. თუ <math>\displaystyle f'(x_{0})=0
</math>, მაშინ <math>f
</math> ფუნქცია <math>x_0
</math> წერტილში შეიძლება იყოს როგორ ზრდადი ისე კლებადი (როდესაც წარმოებული არ იცვლის ნიშანს <math>x_0
</math> წერტილში, ასეთებია ვთქვათ მკაცრად ზრდადი <math>x^3
</math> და მკაცრად კლებადი <math>-x^3
</math> ფუნქციები <math>x_0=0 </math> წერტილში) ან სულაც შეიძლება გააჩნდეს '''ექსტრემუმი'''. კერძოდ <math>f
</math> ფუნქციას გააჩნია ლოკალური '''მაქსიმუმი''' ('''მინიმუმი''') თუ <math>\displaystyle f'(x_{0})=0
</math> და <math>x_0
</math> წერტილში წარმოებული ნიშანს იცვლის დადებითიდან უარყოფითზე (უარყოფითიდან დადებითზე).
 
აგრეთვე ადვილი საჩვენებელია, რომ თუ <math> f''(x_0)<0\;\;(f''(x_0)>0)
რომელიც მით უკეთესად ახასიატებს წერტილის სიჩქარეს <math>t</math> მომენტში, რაც უფრო მცირეა <math>\Delta t</math>. ამიტომ
</math> მაშინ <math>f </math> ფუნქცია '''ამოზნექილია''' ('''ჩაზნექილია''') <math>x_0</math> წერტილის გარკვეულ მცირე მიდამოში.
 
თუ <math>f''(x_{0})=0
<div style='text-align: center;'>
</math> და <math>x_0
<math>S'(t) = \lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta s}{\Delta t}</math>
</math> წერტილში <math>f''</math> იცვლის ნიშანს, მაშინ <math>x_0
</div>
</math> წერტილს ეწოდება <math>f</math> ფუნქციის '''გადაღუნვის''' წერტილი.
 
== გაწარმოების (წარმოებულის გამოთვლის) წესები და ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულები. ==
შეიძლება განვიხილოთ, როგორც მყისი სიჩქარე <math>t</math> მომენტში.
 
ელემენტარული და მათი შებრუნებული ფუნქციების წარმოებულები მოიცემა შემდეგი ცხრილით:
თუ რაიმე წერტილში ფუნქციას გააჩნია წარმოებული, მაშინ ფუნქციას წარმოებადი ეწოდება ამ წერტილში. ფუნქციას ეწოდება წარმოებადი შუალედში, თუ იგი წარმოებადია ამ შუალედის თითოეულ წერტილში.
 
 
'''1.''' <math>c'=0 </math> (მუდმივი ფუნქციის წარმოებული ნულია); <math>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;</math> '''5.''' <math>(\cos x)'=-\sin x,\;\;\;(\sin x)'=\cos x </math>;
 
'''2.''' <math>(x^{\alpha})'=\alpha x^{\alpha-1}\;(\alpha \in R) </math>, კერძოდ <math>x'=1</math>; <math>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;</math> '''6.''' <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x} \;\;(x\not =\frac{\pi}{2} +\pi k),\;\;\;</math> <math>(\cot x)'=-\frac{1}{\sin^2 x} \;\;(x\not =\pi k)</math>;
 
'''3'''. <math>(a^x)'=a^x \ln a\;\;(a > 0) </math>, კერძოდ <math>(e^x)'=e^x</math>; <math>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;</math> '''7.''' <math>(\arcsin x) '=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\;\;\; (\arccos x) '= - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \;\;x\in (-1,\;1)</math>;
 
'''4.''' <math>(\log_ax)'=\frac{1}{x \ln a}\;\;(a>1) </math>, კერძოდ <math>(\ln x)'=\frac{1}{x}</math>; <math>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;</math> '''8.''' <math>(\arctan x) '=\frac{1}{1+x^2},\;\;\; (\arccot x) '= - \frac{1}{1+x^2} </math>.
 
თუ <math>f</math> და <math>g</math> წარმოებადი ფუნქციებია და <math>\alpha\in R</math>, მაშინ გაწარმოებოს შემდეგი წესებია სამართლიანი:
 
<math>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (\alpha f)'=\alpha f',\;\;\;\;\;(f+g)'=f'+g',\;\;\;\;\;(fg)'=f'g+fg',\;\;\;\;\; \Bigl(\frac{f}{g}\Bigr)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}\;\;(g\not = 0),</math>
 
<math>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (f(g(x)))'=f'(g(x))g(x)=\frac{d f(y)}{dy}\bigg\vert_{y=g(x)} \frac{dg(x)}{dx},\;\;\;\;\;\; (f^{-1})'(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}.</math>
 
 
== მრავალი ცვლადის ფუნქციის კერძო და მიმართული წარმოებულები<ref>ვ. ჭელიძე, ე. წითლანაძე, მათემატიკური ანალიზის კურსი ტ.II, თსუ, თბილისი (1975).</ref> ==
ვთქვათ <math>D\subset R^n</math> და ყოველ <math>x=(x_1,\cdots, x_n)\in D</math> ვექტორს გარკვეული წესით შეესაბამება ერთადერთი <math>y\in R</math>, ანუ მოცემული გვაქვს <math>n</math> ცვლადის <math>f:D\to R</math> ფუნქცია. ჩავთვალოთ რომ <math>x_i\;(1\leq i\leq n)</math> ცვლადის გარდა ყველა სხვა ცვლადს მიენიჭა ფიქსირებული მნიშვნელობა, ანუ <math>x_1=a_1,\cdots, x_{i-1}=a_{i-1}, x_{i+1}=a_{i+1},\cdots, x_{n}=a_{n}</math>, მაშინ <math>g(x_i):=f(a_1,\cdots, a_{i-1}, x_i, a_i,\cdots, a_{n})</math> იქნება ერთი <math> x_i</math> ცვლადის ფუნქცია. თუ <math>g</math> ფუნქციას გააჩნია წარმოებული <math>x_i=a_i</math> წერტილში, მაშინ რიცხვს <math>g'(a_i)</math> ვუწოდებთ <math>f</math> ფუნქციის '''კეძო წარმოებულს <math>x_i</math> ცვლადით <math>a:=(a_1,\cdots, a_{i-1}, a_i, a_i,\cdots, a_{n})</math> წერტილში''' და აღვნიშნავთ სიმბოლოთი <math>\frac{\partial f}{\partial x_i}(a_1,\cdots, a_{n})</math>, ანუ
 
<math>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \frac{\partial f}{\partial x_i}(a_1,\cdots, a_{n})=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(a_1,\cdots,a_{i-1},a_{i}+h,a_{i+1}\cdots a_{n})-f(a_1,\cdots, a_{n})}{h}</math>.
 
თუ ყოველ <math>(a_1,\cdots, a_{n})\in D</math> წერტილს შეესაბამება რიცხვი <math>\frac{\partial f}{\partial x_i}(a_1,\cdots, a_{n})</math>, მივიღებთ <math> n</math> ცვლადის ფუნქციას, რომელსაც ეწოდება <math>f</math> ფუნქციის '''კეძო წარმოებული <math>x_i</math> ცვლადით''' და აღინიშნება სიმბოლოთი <math>\frac{\partial f(x_1,\cdots, x_{n})}{\partial x_i}</math>, <math>\frac{\partial f}{\partial x_i}(x_1,\cdots, x_{n})</math>, ან თუ ეს არ იწვევს გაუგებრობას <math>\frac{\partial f}{\partial x_i}</math>.
[[ფაილი:Mxebi2wwwtttt.jpg|მინი|ნახ. 3]]
განვიხილოთ ვექტორი <math>v:=(v_1,\cdots, v_n
)</math>. ადვილი დასანახია, რომ თუ <math>h\to 0 </math> <math>(h\in R) </math>, მაშინ ვექტორი <math>x:=a+vh</math>, უახლოვდება <math>a:=(a_1,\cdots, a_{n})</math> ვექტორს <math>v</math> ვექტორის მიმართულებით, რადგან <math>x-a=vh</math> და <math>h </math> ვექტორები კოლინეარულია (ეს განსაკუთრებით თვალნათელია თუ n=2 (იხ. ნახ. 3)) . ნათქვამიდან ცხადია თუ რატომ ეწოდება რიცხვს
 
<math>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; D_vf(a):=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(a+vh)-f(a)}{h}</math>,
 
'''<math>f</math> ფუნქციის წარმოებული <math>a</math> წერტილში <math>v</math> მიმართულებით.''' ადვილი დასამტკიცებელია მიმართული წარმოებულის გამოსათვლელი ფორმულა
 
<math>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; D_vf(x)=(\triangledown f \cdot v)=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f(x)}{\partial x_i} v_i </math>,
 
სადაც <math>(\quad \cdot \quad ) </math> არის სკალარული ნამრავლი და <math>\triangledown f =\Bigl(\frac{\partial f(x)}{\partial x_1},\cdots, \frac{\partial f(x)}{\partial x_n} \Bigr) </math> ანუ <math>f </math> ფუნქციის გრადიენტია.
 
== კომპლექსური ცვლადის ფუნქციის წარმოებული<ref>R. Remmert, Theory of complex functions. Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York (1998)</ref><ref>М. Лаврентьев, Б. Шабат, Методы теории функции комплексного переменного. Наука, Москва (1965) </ref> ==
 
 
 
ვთქვათ <math>C</math> არის კომპლექსურ რიცხვთა სიმრავლე, <math>D\subset C</math> არის არე, <math>z_0\in D</math> და განსაზღვრული გვაქვს კომპლექსური ცვლადის ფუნქცია <math>f:D\to C.</math> მაშინ
 
<math> (3)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f'(z_0)=\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}.
</math>
 
მნიშვნელოვანია იმის გათვალისწინება, რომ კომპლექსური ცვლადის ფუნქციის ზღვრის განსაზღვრების თანახმად (3) ტოლობაში მონაწილე ზღვარი არსებობს მაშინ და მხოლოდ მაშინ თუ ზღვარი დამოუკიდებელია <math> z
</math>-ის <math> z_0
</math> რიცხვისკენ მისწრაფების გზისაგან. უკანასკნელი პირობა საკმარისად მძიმე შეზღუდვაა და განაპირობებს იმას, რომ კომპლექსური ცვლადის <math>f(z)=u(x, y)+iv(x, y)</math> ფუნქციას სადაც <math>z=x+iy</math>, გააჩნია წარმოებული <math> z_0=x_0+iy_0
</math> წერტილში მაშინ და მხოლოდ მაშინ თუ <math> u
</math> და <math> v
</math> ფუნქციები დიფერენცირებადია <math> (x_0, y_0)
</math> წერტილში და ამ წერტილში სრულდება ე.წ. კოში-რიმანის პირობები (ხშირად დალამბერ-ეილერის პირობებადაც მოიხსენიებენ)
 
<math> \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \frac{\partial u(x_0, y_0)}{\partial x}=\frac{\partial v(x_0, y_0)}{\partial y},\;\;\;\frac{\partial u(x_0, y_0)}{\partial y}=-\frac{\partial v(x_0, y_0)}{\partial x}
</math>.
 
თუ კომპლქსური ცვლადის ფუნქცია წარმოებადია <math>D</math> არეში, ამბობენ რომ ის '''ანალიზური''' ფუნქციაა ამ არეში. აღმოჩნდა რომ ანალიზურობა იმდენად დიდი მოთხოვნაა, რომ სამართლიანია:
 
'''კოშის თეორემა (1842 წ.)''' თუ <math>f</math> ფუნქცია ანალიზურია <math>D</math> არეში და უწყვეტია <math>\overline{D}</math> (<math>D</math>-ს ჩაკეტვა) სიმრავლეზე, მაშინ მას გააჩნია ნებისმიერი რიგის წარმოებული ამ არეში და სამართლიანია ინტეგრალური წარმოდგენა
 
<math> \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; f^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi i}\int\limits_{\gamma_D}\frac{f(\xi)}{(\xi-z)^{n+1}} d \xi\;\;\;(z\in D),
</math>
 
სადაც <math> \gamma_D
</math> არის <math>D</math> არის საზღვარი.
 
 
 
 
 
 
== ლიტერატურა ==
<references responsive="" />
[[კატეგორია:ანალიზი]]
მოძიებულია „https://ka.wikipedia.org/wiki/წარმოებული“-დან