მძინარე მზეთუნახავის პარადოქსი

მძინარე მზეთუნახავის პარადოქსი არის ალბათობის თეორიის ერთ-ერთი პარადოქსი და წარმოადგენს ალბათურ ამოცანას, რომელსაც რამდენიმე განსხვავებული და, ამავდროულად, სწორი პასუხი გააჩნია. იგი დემონსტრირებას ახდენს იმისა, თუ როგორ შეიძლება სტატისტიკით მანიპულირება.

პარადოქსის ავტორად ითვლება ადამ ელგა.

ფორმულირება

ცდის პირს ("მძინარე მზეთუნახავს") უკეთებენ საძილე ინექციას. აგდებენ სიმეტრიულ მონეტას. თუ დაჯდა ავერსით ზემოთ, მას აღვიძებენ და ცდა ამით მთავრდება. რევერსის მოსვლის შემთხვევაში, მას აღვიძებენ, ხელმეორედ უკეთებენ ინექციას (მხოლოდ მას შემდეგ, რაც გაღვიძების შესახებ დაივიწყებს) და მეორე დღეს მონეტის აგდების გარეშე აღვიძებენ (ამ შემთხვევაში ცდა ორ დღეს გრძელდება). მთელი ეს პროცედურა მზეთუნახავისთვის ცნობილია, თუმცა მას არ აქვს ინფორმაცია, თუ რომელ დღეს გააღვიძეს ის.

წარმოიდგინეთ, რომ მზეთუნახავი გააღვიძეს, რა არის ალბათობა იმისა, რომ მონეტა დაჯდა რევერსით ზემოთ?

ამოხსნა 1.

მზეთუნახავს არანაირი ინფორმაცია არ აქვს, თუ როგორ დაეცა მონეტა გაღვიძების წინ. რამდენადაც ცნობილია, რომ მონეტა ჩვეულებრივია, შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ ალბათობა რევერსის მოსვლისა არის ${\frac {1}{2}}$.

ამოხსნა 2.

ცდა გავაგრძელოთ და ჩავატაროთ 1000-ჯერ. მძინარე მზეთუნახავი საშუალოდ გაიღვიძებს 500-ჯერ ავერსით და 1000-ჯერ რევერსით, ამიტომ ალბათობა იქნება ${\frac {2}{3}}$.

ამოხსნა

${\frac {1}{2}}$ — ესაა რევერსის ალბათობა მზეთუნახავის ხელთ არსებული ყველა ინფორმაციის გათვალისწინებით. ალბათობის სივრცე ამ შემთხვევაში ასეთია: პირველი დღე, ავერსი — ½; პირველი დღე, რევერსი — ¼; მეორე დღე, რევერსი — ¼.

${\frac {2}{3}}$ —ამ შემთხვევაში ლოგიკა ეფუძნება იმას, რომ ყოველი რევერსი მზეთუნახავს აღვიძებს ორჯერ, ხოლო ავერსი — ერთხელ.

როგორც ვხედავთ, ვღებულობთ ორ განსხვავებულ პასუხს, თუმცა შეიძლება ითქვას, რომ ორივე სწორია.

პარადოქსის სხვა ფორმები

დაბნეული მძღოლის პარადოქსი

დაბნეული პროფესორი, რომელიც სამსახურში გვაინობამდე იყო, ზის მანქანაში და სახლში მიდის. სწორი გზაა მოუხვიოს მარჯვნივ მეორე გზაჯვარედინზე (ჯარიმა 0). თუ ის მოუხვევს პირველ გზაჯვარედინზე, მოხვდება კრიმინალურ რაიონში _ ჯარიმა 4. თუ გამოტოვებს მეორე გზაჯვარედინს, 20 კილომეტრის შემდეგ არის სასტუმრო, სადაც ღამის გათევა შეიძლება _ ჯარიმა 3. პრობლემა ის არის, რომ დაღლილობისა და დაბნეულობის გამო პროფესორს არ ახსოვს, გაიარა თუ არა პირველი გზაჯვარედინი (რა თქმა უნდა იგულისხმება, რომ გზაჯვარედინები ერთნაირია და პროფესორი მათ განსხვავებას ვერ ახერხებს).

სტრატეგია "როგორც კი დაინახავ გზაჯვარედინს, მოუხვიე მარჯვნივ", რა თქმა უნდა, უარყოფილია, მიიღება ჯარიმა 4. შედარებით სასარგებლო სტრატეგიაა "გამოტოვე ორივე გზაჯვარედინი" ჯარიმით 3.

პროფესორმა აირჩია მეორე სტრატეგიის გამოყენება. როდესაც გზაჯვარედინს მიუახლოვდა, უცებ გაიფიქრა: "ალბათობა იმისა, რომ მე პირველ გზაჯვარედინზე ვარ, არის ½; ალბათობა იმისა, რომ მეორეზე _ ასევე ½; აქედან გამომდინარე საშუალო ჯარიმა პირველი სტრატეგიისა იქნება _ ½·4 + ½·0 = 2. ეს კი უკეთესია, ვიდრე სასტუმროში წასვლა.

პარადოქსი კი ისაა, რომ პირველი და მესამე სტრატეგიები განსხვავებულია. მესამე სტრატეგიის მიხედვით, 50% შემთხვევაში გამოვტოვებთ პირველ გზაჯვარედინს და მეორეში შევუხვევთ, ხოლო 50% შემთხვევაში პირველივეზე შევუხვევთ.