იმპულსის მომენტი

იმპულსის მომენტი (ასევე ეწოდება კუთხის იმპულსი ან ბრუნვის იმპულსი) — ერთ-ერთი შენახვადი ვექტორული სიდიდე ფიზიკაში. კლასიკურ ფიზიკაში იმპულსის მომენტი გამოისახება როგორც რადიუსისა და იმპულსის ვექტორული ნამრავლი. მყარი სხეულის ბრუნვითი მოძრაობისას იმპულსის მომენტი არის წრფივი იმპულსის ანალოგიური, მისი წარმოებული წარმოადგენს ძალის მომენტს. იმპულსის მომენტი ასევე მნიშვნელოვანი სიდიდეა კვანტურ ფიზიკაში.

იმპულსის მომენტი მიმართული სიჩქარისა და რადიუს-ვექტორის მართობულად.

იმპულსის მომენტი კლასიკურ მექანიკაში

განმარტება

კლასიკურ მექანიკაში იმპულსის მომენტი განიმარტება შემდეგნაირად:

${\vec {L}}={\vec {r}}\times {\vec {p}}$

სადაც ${\vec {p}}$ არის სხეულის იმპულსი, ხოლო ${\vec {r}}$ არის რადიუს-ვექტორი. ჯვარი აღნიშნავს ვექტორულ ნამრავლს. სიჩქარის მეშვეობით არარელატივისტური ფიზიკაში ეს გამოისახება როგორც:

${\vec {L}}=m{\vec {r}}\times {\vec {v}}$

ვექტორული ნამრავლის განმარტებიდან გამომდინარეობს რომ იმპულსის მომენტი რადიუს-ვექტორის და სიჩქარის ვექტორის მიერ შედგენილი სიბრტყის მართობულად არის მიმართული. როდესაც პლანეტა მოძრაობს ელიფსურ ორბიტაზე, მისი იმპულსის მომენტი მიმართული ელიფსის სიბრტყის მართობულად. კონკრეტულად "ზემოთ" არის მიმართული თუ "ქვემოთ" განისაზღვრება მარჯვენა ბურღის წესით, ან ანალოგიური მარჯვენა ხელის წესით. ზედა გამოსახულებიდან ჩანს რომ იმპულსის მომენტის მოდული არის:

$L=mvr\sin \alpha \,\!$

სადაც $\alpha$ არის სიჩქარესა და რადიუს-ვექტორს შორის კუთხე.

რადგან იმპულსის მომენტი სხეულის ბრუნვის მახასიათებელია, უფრო მოხერხებულია იმპულსის მომენტის გამოსახვა კუთხურის სიჩქარის მეშვეობით. წერტილოვანი $\omega$ კუთხურის სიჩქარის მქონეს სხეულისთვის არის:

$L=mr^{2}\omega \,\!$

იმ შემთხვევაში როდესაც სხეული შედგება $N$ ნაწილაკისგან და გააჩნია ღერძი რომლის გარშემოც სხეულის ყველა წერტილი ტრიალებს $\omega$ კუთხური სიჩქარით, მისი იმპულსის მომენტი გამოისახება ინერციის მომენტის მეშვეობით:

${\vec {L}}=I{\vec {\omega }}$

სადაც $I$ არის ინერციის მომენტი.

$I=\sum _{i=1}^{N}m_{i}r_{i}^{2}$

თუ სხეული არის უწყვეტი, მაშინ ჯამი შეიცვლება ინეგრალით. თუ სხეულს არ გააჩნია ერთი ღერძი რომლის გარშემოც ის ტრიალებს, ანუ შეუძლია სამ განზომილებაში ბრუნვა, ინერციის მომენტი არის ტენზორი და არა სკალარი. იმპულსის მომენტი გამოისახება როგორც ტენზორი გამრავლებული ვექტორზე:

$L_{i}=\sum _{j=1}^{3}I_{ij}\omega _{j}$

ამ გამოსახულებაში $i$ და $j$ არის სივრცული ინდექსები $x$, $y$ და $z$.

იმპულსის მომენტის მუდმივობა

იმპულსის მომენტის მუდმივობა ციური სხეულებისთვის პირველად დაადგინა კეპლერმა. იმპულსის მომენტი მუდმივია თუ სხეულის პოტენციური ენერგია მარტო რადიუს-ვექტორის სიგრძეზეა დამოკიდებული და არა მიმართულებაზე. თუ ძალა მიმართულებაზე არაა დამოკიდებული, შეგვიძლია დავწეროთ რომ სხეულზე მოქმედი ძალა არის:

${\vec {F}}={\frac {d{\vec {p}}}{dt}}=-{\vec {\nabla }}U(r)=-{\frac {dU}{dr}}{\frac {\vec {r}}{r}}$

ანუ ძალა რადიუსვექტორის გასწვრივ არის მიმართული. ამის გამოყენებით მიიღება რომ იმპულსის მომენტის დროითი წარმოებული არის:

${\frac {d}{dt}}({\vec {p}}\times {\vec {r}})={\vec {r}}\times {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}+{\frac {d{\vec {r}}}{dt}}\times {\vec {p}}=0$

პირველი წევრი არის ნული რადგანაც წარმოადგენს ძალისა რადიუს-ვექტორის ნამრავლს, ძალა კიდე რადიუს-ვექტორის გასწვრივ არის მიმართული. ხოლო მეორე წევრი ნულია იმიტომ რომ რადიუს-ვექტორის წარმოებული იმპულსის პროპორციულია. შესაბამისად მივიღეთ იმპულსის მუდმივობის კანონი კლასიკურ ფიზიკაში.

თეორიულ ფიზიკაში იმპულსის მუდმივობა მტკიცდება ნოეთერის თეორემის მეშვეობით. ნოეთერის თეორემის თანახმად თუ სისტემას გააჩნია გარკვეული სიმეტრია, არსებობს ამ სიმეტრიასთან დაკავშირებული შენახვადი სიდიდე. იმპულსის მომენტის შემთხვევაში ეს არის სისტემის სიმეტრია მობრუნების მიმართ. რადგანაც ურთიერთქმედების ენერგია მიმართულებაზე არაა დამოკიდებული, მთელი სისტემის მოტრიალებით არაფერი იცვლება.

იმპულსის მომენტის შენახვის მაგალითები ხშირად გვხვდება სპორტში. ყინულზე მოციგურავე ერთ ადგილზე ტრიალისას ბრუნვის სიჩქარის გაზრდას ახერხებს ხელების მოკეცვით. ამით მისი რადიუსი, შესაბამისად ინერციის მომენტი მცირდება. რადგანაც იმპულსის მომენტი უნდა შეინახოს, მოციგურავის ბრუნვის სიჩქარე მატულობს. ანალოგიური მდგომარეობაა როდესაც წყალში მხტომელი თავისი სხეულის მოკეცვით ახერხებს ჰაერში რამდენიმე ბრუნს. ჰაერში ახტომის მერე სპორტსმენზე გარედან არანაირი ძალა არ მოქმედებს რომ დაატრიალოს. ის თავის ბრუნვის სიჩქარეს აკონტროლებს ინერციის მომენტის ცვლილებით.

მბრუნავი სხეულის მოძრაობის განტოლება

ზოგად შემთხვევაში იმპულსის მომენტი არ არის შენახვადი სიდიდე. წერტილოვანი სხეულისთვის მისი დროით წარმოებული არის:

${\frac {d{\vec {L}}}{dt}}={\vec {r}}\times {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}+{\frac {d{\vec {r}}}{dt}}\times {\vec {p}}={\vec {r}}\times {\vec {F}}+0\equiv {\vec {M}}$

ზედა გამოსახულებაში ${\vec {M}}$ არის ძალის მომენტი. სამ განზომილებაში მბრუნავი სხეულისთვის გვაქვს:

$\sum _{j=1}^{3}I_{ij}{\frac {d\omega _{j}}{dt}}=M_{i}$

იმპულსის მომენტი კვანტურ ფიზიკაში

განმარტება

კვანტურ მექანიკაში იმპულსის მომენტის ოპერატორის საპოვნელად საჭიროა იმპულსის მომენტის კლასიკურ გამოსახულებაში იმპულსი და კოორდინატი შეიცვალოს შესაბამისი ოპერატორებით. კოორდინატულ წარმოდგენაში უნდა მოხდეს შემდეგი შეცვლა

${\vec {r}}\rightarrow {\vec {r}}$

${\vec {p}}\rightarrow -i\hbar {\vec {\nabla }}$

შესაბამისად იმპულსის ოპერატორი არის:

${\vec {L}}=-i\hbar {\vec {r}}\times {\vec {\nabla }}$

$x,y,z$ კომპონენტებს აქვთ შემდეგი სახე:

$L_{x}=-i\hbar \left(y{\partial \over \partial z}-z{\partial \over \partial y}\right)$

$L_{y}=-i\hbar \left(z{\partial \over \partial x}-x{\partial \over \partial z}\right)$

$L_{z}=-i\hbar \left(x{\partial \over \partial y}-y{\partial \over \partial x}\right)$

იმპულსის ოპერატორის კომპონენტები არ კომუტირებენ ერთმანეთთან.

$[L_{i},L_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}L_{k}$

ამ აღნიშვნებში ინდექსი 1 ნიშნავს x კომპონენტს, 2 ნიშნავს y-ს და 3 ნიშნავს z-ს. მართკუთხა ფრჩხილები ნიშნავს კომუტატორს, $[A,B]=AB-BA$. $\epsilon _{ijk}$ არის ლევი-ჩივიტას სიმბოლო.

$\epsilon _{123}=\epsilon _{312}=\epsilon _{231}=1$

$\epsilon _{132}=\epsilon _{321}=\epsilon _{211}=-1$

და არის ნული როდესაც ორი ინდექსი მაინც ტოლია. ანუ

$L_{x}L_{y}-L_{y}L_{x}=i\hbar L_{z}$

იმპულსის ოპერატორებს შორის კომუტაციური თანაფარდობა ნიშნავს რომ თუ იმპულსის მომენტის ერთი კომპონენტი არის ზუსტად გაზომილი, მისი მეორე კომპონენტი განუსაზღვრელია. სიდიდე რომელიც ყველა კომპონენტთან კომუტირებს არის იმპულსის მომენტის კვადრატი:

$[L^{2},L_{i}]=0\,\!$

საკუთარი მნიშვნელობები

რადგნაც იმპულსის მომენტის კვადრატი მის კომპონენტებთან კომუტირებს, მდგომარეობის დახასიათება შეიძლება იმპულსის მომენტის კვადრატით და მისი ერთ ერთი კომპონენტით. როგორც წესი ეს არის $z$ კომპონენტი. სფერულ კოორდინატებში ეს ორი ოპერატორი ჩაიწერება შემდეგნაირად:

$L_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \phi }}$

$L^{2}=-{\frac {\hbar ^{2}}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)-{\frac {\hbar ^{2}}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}$

იმპულსის მონენტის კვადრატის ოპერატორის საკუთარი ფუნქციები არის სფერული ფუნქციები:

$L^{2}Y_{l,m}(\theta ,\phi )=\hbar l(l+1)Y_{l,m}(\theta ,\phi )$

სადაც l არის 0, 1, 2, ... იგივე სფერული ფუნქციები იქნება z კომპონენტის საკუთარი ფუნქცია

$L_{z}Y_{l,m}(\theta ,\phi )=\hbar mY_{l,m}(\theta ,\phi )$

$m$ არის მთელი რიცხვი მინუს $l$-დან $l$-მდე.

ატომურ ფიზიკაში და ქიმიაში $l$ კვანტური რიცხვი გამოიყენება ელექტრონის მდგომარეობების კლასიფიკაციისთვის. მაგალითად, $l=0$ არის $s$ მდგომარეობა, $l=1$ არის $p$, $l=2$ არის $d$ და ასე შემდეგ.

სრული იმპულსის მომენტი

ელექტრონს და სხვა ელემენტარულ ნაწილაკებს ზემოთ განმარტებული ორბიტალური მომენტის გარდა გააჩნიათ საკუთარი მომენტი, ანუ როდესაც ელექტრონი არ ბრუნავს არაფრის გარშემო მას მაინც გააჩქნია იმპულსის მომენტი, ეგრეთ წოდებული სპინი. ამ შემთხვევაში სრული მომენტი განიმარტება როგორც ორბიტალური მომენტის და სპინის ჯამი:

${\vec {J}}={\vec {L}}+{\vec {S}}\,\!$

სრული მაგნიტური მომენტი აკმაყოფილებს იგივე კომუტაციურ თანაფარდობას რასაც ჩვეულებრივი იმპულსის მომენტი:

$[J_{i},J_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}J_{k}$

ისევე როგორც წინა შემთხვევაში, საკუთარი მდგომარეობები აღიწერება $j^{2}$-ის და $j_{z}$-ის საკუთარი მნიშვნელობებით

$J^{2}|j,m>=\hbar ^{2}j(j+1)|j,m>$

$J_{z}|j,m>=\hbar m|j,m>$

$j$ და $m$ საკუთარი მნიშვნელობების საპოვნელად საჭიროა შემდეგი ოპერატორების განმარტება:

$J_{+}=J_{x}+iJ_{y}\,\!$

$J_{-}=J_{x}-iJ_{y}\,\!$

ამათგანი პირველი ოპერატორი $J_{z}\,\!$-ის საკუთარ მნიშვნელობას წევს ზემოთ $\hbar$-ით, ხოლო მეორე წევს ქვემოთ $\hbar$. თანაც ორივე კომუტირებს სრული იმპულსის კვადრატთან. კომუტაციური თანაფარდობების მეშვეობით საბოლოოდ მიიღება რომ $j=n/2$ სადაც $n$ ნატურალური რიცხვია, ხოლო $m=-j,\quad -j+1,...,\quad j-1,\quad j$.

საკუთარი ფუნქციების გამოსახვა შეიძლება სფერული ფუნქციების მეშვეობით რომლებიც წამოადგენენ ორბიტალური იმპულსის მომენტის საკუთარ ფუნქციებს. ამ შემთხვევაში საკუთარი ფუნქცია წარმოადგენს არა ერთ სფერული ფუნქციას, არამედ რამდენიმე სფერული ფუნქციის კომბინაციას. სფერული ფუნქციები სრული მომენტის საკუთარ ფუნქციებს უკავშირდებიან კლებშ-გორდანის კოეფიციენტების მეშვეობით.

რესურსები ინტერნეტში

• Conservation of Angular Momentum დაარქივებული 2016-12-07 საიტზე Wayback Machine.
• Angular Momentum in a Collision Process
• Angular Momentum and Rolling Motion