ეილერის ფუნქცია

რიცხვთა თეორიაში ეილერის ფორმულა ითვლის მთელი დადებითი რიცხვების რაოდენობას რომელებიც არ n–ს და თანამრტივია n–თან. ეილერის ფუნქციას ავღნიშნავთ φ(n)–ით ანუ φ(n) არის ყველა ისეთი k რიცხვის რაოდენობა სადაც 1≤k≤n და უსგ(k,n)=1.

მაგალითად თუ n=9 მაშინ φ(n)=6; რადგან 9–სთან თანამარტივია 1,2,4,5,7,8. როცა n=1, φ(n)=1. რადგან უსგ(1,1)=1, მაგრამ ესაა ერთადერთი შემთხვევა როცა n თანამარტივია საკუთარ თავთან;

ეილერის ფორმულა მარტივი p რიცხვის შემთხვევაში თეორემა: თუ p მარტივია და k ≥ 1, მაშინ [1]

    ${\displaystyle \varphi (p^{k})=p^{k-1}(p-1)=p^{k}\left(1-{\frac {1}{p}}\right).}$

დამტკიცება: მართლაც ნაშთთა სრული სისტემა ${\displaystyle p^{k}}$ მოდულით შედგება 1,2,3......${\displaystyle p^{k}}$რიცხვებისგან მათგან ${\displaystyle p^{k}}$–სთან თანამარტივია ისინი რომლებიც p–ზე არ იყოფა. ცხადია მოცემულ ნაშთთა სისტემაში p-ზე იყოფა ${\displaystyle p,2p,...p^{2},...p^{k}}$რომელთა საერთო რაოდენობა ტოლია ${\displaystyle p^{k-1}}$ მაშასადამე ${\displaystyle p^{k}}$–სთან თანამარტივ რიცხვთა რაოდენობა მოცემული სისტემიდან უდრის ${\displaystyle p^{k}-p^{k-1}=p^{k-1}(p-1)}.$

მულტიპლიკაციურობა ეილერის ფუნქცია არის მულტიპლიკაციური რაც ნიშნავს რომ ნებისმიერი m და n რიცხვებისთვის რომლებიც თანამარტივი არიან ანუ უსგ(m,n)=1, სამართლიანია შემდეგი ტოლობა φ(mn) = φ(m)φ(n). მაგ: φ(36) = φ(9)φ(4)=6·2=12.

ეილერის ფუნქციის ფორმულა ნებისმიერი რიცხვისთვის ეილერის ფორმულის მულტიპლიკაციურობა საშუალებას გვაძლევს ვიპოვოთ ნებისმიერი რიცხვისთვის ეილერის მნშვნელობა.მართლაც ნებისმიერი რიცხვი წარმოსდგება მარტივ რიცხვთა ნამრავლის სახით${\displaystyle {\displaystyle n={p_{1}}^{k_{1}}\cdots {p_{r}}^{k_{r}},}}$ აქედან გამომდინარე

${\displaystyle {\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (n)&=\varphi \left(p_{1}^{k_{1}}\right)\varphi \left(p_{2}^{k_{2}}\right)\cdots \varphi \left(p_{r}^{k_{r}}\right)\\&=p_{1}^{k_{1}}\left(1-{\frac {1}{p_{1}}}\right)p_{2}^{k_{2}}\left(1-{\frac {1}{p_{2}}}\right)\cdots p_{r}^{k_{r}}\left(1-{\frac {1}{p_{r}}}\right)\\&=p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots p_{r}^{k_{r}}\left(1-{\frac {1}{p_{1}}}\right)\left(1-{\frac {1}{p_{2}}}\right)\cdots \left(1-{\frac {1}{p_{r}}}\right)\\&=n\left(1-{\frac {1}{p_{1}}}\right)\left(1-{\frac {1}{p_{2}}}\right)\cdots \left(1-{\frac {1}{p_{r}}}\right).\end{aligned}}}}$

მაგ: ${\displaystyle {\displaystyle \varphi (36)=\varphi \left(2^{2}3^{2}\right)=36\left(1-{\tfrac {1}{2}}\right)\left(1-{\tfrac {1}{3}}\right)=36\cdot {\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {2}{3}}=12.}}$

ეილერის თეორემა რიცხვთა თეორიაში მნიშვნელოვან ადგილს იკავებს ეილერის შემდეგი თეორემა

თუ უსგ(a,m)=1 მაშინ ${\displaystyle a^{\varphi (m)}\equiv 1(modm)};$

წყარო

"რიცხვთა თეორია " მათემატიკის მეორე კურსი

^ Long (1972, p. 85)

^ Pettofrezzo & Byrkit (1970, p. 72)

^ Long (1972, p. 162)

^ Pettofrezzo & Byrkit (1970, p. 80)

^ See Euler's theorem.