გეომეტრიული პროგრესია

გეომეტრიული პროგრესია — მათემატიკაში ისეთი რიცხვითი მიმდევრობაა, რომლის პირველი წევრი ნულისაგან განსხვავებულია, ხოლო ყოველი წევრი, მეორედან დაწყებული, მიიღება წინა წევრის ერთსა და იმავე ნულისაგან განსხვავებულ რიცხვზე გამრავლებით. გეომეტრიული პროგრესიის წევრი პირობითად აღინიშნება b ასოთი, ხოლო ნებისმიერ გეომეტრიულ პროგრესიას ამგვარი სახე აქვს: $b_{1},\ b_{2},\ b_{3},\ \ldots ,\ b_{n}$. ამგვარ მიმდევრობაში ნებისმიერი ორი, მომდევნო და წინა წევრის შეფარდება ერთმანეთის ტოლია და ამ რიცხვს გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელი ეწოდება, რომელიც q ასოთი აღინიშნება:

უსასრულო გეომეტრიული პროგრესიის დიაგრამა,რომელიც უახლოვდება 0 და ხდება კიდევაც უსასრულობაში.a=1 და q=1/2 .

${\frac {b_{2}}{b_{1}}}\ ={\frac {b_{3}}{b_{2}}}\ ={\frac {b_{n}}{b_{n-1}}}\ =q$

თუ $q>0,\ (q\neq \ 1)$, მაშინ გეომეტრიული პროგრესია მონოტონურია, ($0<q<1$ - კლებადია, $q>1$ - ზრდადია), თუ $q<0$ - პროგრესია არც ზრდადია და არც კლებადი, იგი ნიშანმონაცვლეა, ხოლო თუ $q=1$, მაშინ პროგრესია მუდმივ მიმდევრობას წარმოადგენს. გეომეტრიული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამი გამოითვლება ფორმულით: $S={\frac {b_{1}(q^{n}-1)}{q-1}}$ სადაც S არის ჯამი ხოლო q გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელი და b₁ გეომეტრიული პროგრესიის პირველი წევრი.

უსასრულო გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი გამოითვლება სხვა ფორმულით: $S={\frac {a}{1-q}}$ სადაც a არის გეომეტრიული პროგრესიის პირველი წევრი, ხოლო q გეომეტიული მნიშვნელი (ეს ფორმულა განსაზღვრულია არეალში, სადაც |q|<1 რადგან სხვა შემთხვევაში ეს ჯამი როგორც რაიმე რიცხვი, არ არსებობს. იგი უსასრულოდ იზრდება).

რესურსები ინტერნეტში

• Derivation of formulas for sum of finite and infinite geometric progression at Mathalino.com
• Geometric Progression Calculator დაარქივებული 2008-12-27 საიტზე Wayback Machine.
• Nice Proof of a Geometric Progression Sum at sputsoft.com