ფუნქციათა თეორია

ფუნქციათა თეორია, მათემატიკის დარგი, რომელიც სწავლობს ფუნქციათა ზოგად თვისებებს. ფუნქციათა თეორია იყოფა ორ ნაწილად: ნამდვილი ცვლადის ფუნქციათა თეორია და კომპლექსური ცვლადის ფუნქციათა თეორია.

ფუნქციონალური ანალიზის ძირითადი ამოცანაა (უსასრულო განზომილებიანი) ვექტორული სივრცეების შესწავლა მათემატიკური ანალიზის მეთოდებისა და კონცეფციების (მწკრივვები, ზღვარები, კომპაქტურობა, სასრულობა, ა.შ.) გამოყენებით.

მთელი რიგი სიმრავლეები (ხშირად: ფუნქციათა სიმრავლეები/სივრცეები) შეიძება მოდელირებულ იქნეს როგორც ვექტორული სივრცეები და შესაძლებელია მათი აღჭურვა ტოპოლოგიური სტრუქტურით, ხშირად, მეტრიკით და ზოგჯერ ნორმით. სწორედ ამგვარი სივრცეებია ფუნქციონალური ანალიზის შესწავლის საგანი. ამგვარი სივრცეების ორი უფრო კონკრეტული მაგალითია ბანაჰის სივრცეები და ჰილბერტის სივრცეები. დამატებით, თუ ვექტორული სივრცე აღწურვილია გამრვლებით (ანუ ალგებრაა), რომელიც აკმაყოფილებს უტოლობას $\|a\cdot b\|\leq \|a\|\|b\|$ გვაქვს ოპერატორული ალგებრა, რომლის უფრო კონკრეტული შემთხვევაც არის ეწ სი-სტარ ($C^{*}$) ალგებრა.

მაგალითები: $C([0,1])_{\infty }$ რეალური (ან ალტერნატიულად - კომპლექსური) ფუნქციები ინტერვალზე, აღჭურვილი სუპ-ნორმით არის ბანაჰის სივრცის კლასიკური მაგალითი.

$L^{2}(X)$ სივრცე არის ჰილბერტის სივრცის კლასიკური მაგალითი, ფუნქციები ზომით სივრცე x_სზე, რომლებიც კვადრატულად სასრულ-ინტეგრირებადი არიან. ამ შემთხვევაში შესაძლებელია შიდა პროდუქტის განსაზღვრა ორ ფუნქციას შორის: $<f,g>=\int _{X}f\cdot g$ და შესაბამისი ნორმა.

ფუნქციონალური ანალიზის ზოგიერთი ინსტრუმენტებია: ღია და დახურული კორესპონდენციის თერემები, შექცეული ფუნქციის თეორემა.

რისის თეორემა წრფივი ფუნქციონალის შესახებ, რომელიც გვაძლევს აღწერას წრფივი ფუნქციონალებისა ბანაჰის (ხშირად ინტეგრალის ფორმით) და ჰილბერტის (შიდა პროდუქტის) სივრცეებზე.

კრაინ მილმანის თეორემა ამოზნექილი სივრცეებისათვის, რომლების გვაძლევენ აღწერა უსასრულო ამოზნექილი მრავალკუთხედის აღჭერისა.

გელფანდის თეორია, რომელიც გვაძლევს წრიფვი ფუნქციონალების აღწერას დუალზე, ეწ გელფანდის გარდაქმნის აღწერას.

ფრედჰოლმის თეორია, რომლის საგანიცაა ეწ ფრედჰოლმის ოპერატორები.

ფონ ნოიმანის თეორია, რომელიც შეისწავლის უზღვრო (unbounded) ოპერატორებს, რაც კვანტური ფიქიზიკის მათემატიკური მოდელირების ერთ ერთი ინსტრუმენტია.

ფუნქციონალური ანალიზის ორი სტადანდარტული მიდგომაა: ოპერაციული ანალიზი რომელიც დაკავებულია ერთი კონკრეტული ოპერატორის შესწავლით; და ოპერაციული ალგებრა, რომელიც დაკავებულია სიმრავლის

ფუნქციონალური ანალიზის თანამედროვე კვლევის რამდენიმე მიმართულებაა: ინვარიანტული ქვესივრცეები; თავისუფალი ალბათობა; სი-სტარ სივრცეების კლასიფიკაცია (მჭიდრო კავშირით კ-თეორიასთან) ka:კომპლექსური ანალიზი