უსასრულო სასტუმროს პარადოქსი

ჰილბერტის უსასრულო სასტუმროს პარადოქსი — აზრითი ექსპერიმენტი, რომელიც აღწერს უსასრულო სიმრავლის პარადოქსულ, არაინტუიტიურ თვისებებას. მისი შინაარსია, რომ თუ გვაქვს მთლიანად დაკავებული სასტუმრო უსასრულო რაოდენობის ოთახებით, მაინც არის შესაძლებელი ახალი სტუმრების დამატება, უსასრულო რაოდენობისაც კი, და უფრო მეტიც, უსასრულოდ შეიძლება ვიმეოროთ დამატების პროცესი. ეს იდეა პირველად დევიდ ჰილბერტმა წარმოადგინა 1924 წელს, პოპულარიზაცია კი ჯორჯ გამოვმა გაუკეთა.

ჰილბერტის სასტუმრო

პარადოქსი

განვიხილოთ ჰიპოთეტური სასტუმრო, რომელიც შეიცავს თვლად, უსასრულო რაოდენობის ოთახს და ყველა ოთახი დაკავებულია. ერთი შეხედვით შეიძლება ვიფიქროთ, რომ მოცემულ სასტუმროში ახალი სტუმრების დამატება შეუძლებელია, რადგან სასტუმრო სასრული რაოდენობის ოთახებს რომ შეიცავდეს, ასე იქნებოდა, დირიხლეს პრინციპით.

განვიხილოთ სხვადასხვა სახის რაოდენობის სტუმრების დამატება.

სასრული რაოდენობის ახალი სტუმრები

ვთქვათ ერთ ახალ სტუმარს სურს, რომ ოთახი აიღოს. მაშინ ჩვენ შეგვიძლია, რომ სტუმარი, რომელიც პირველ ოთახშია, გადავიყვანოთ მეორეში, სტუმარი რომელიც მეორე ოთახშია გადავიყვანოთ მესამეში და ა. შ ანუ სტუმარი $n$-ურ ოთახში გადავა $(n+1)$-ურ ოთახში. ამის შემდეგ პირველი ოთახი გათავისუფლდება და ახლად მოსულ სტუმარს შეგვეძლება ის დავუთმოთ. ამ პროცესის გამეორებით ჩვენ შეგვიძლია ნებისმიერი სასრული რაოდენობის ახალი სტუმარი დავამატოთ სასტუმროში.

უსასრულო რაოდენობის ახალი სტუმრები

ასევე შესაძლებელია თვლადი უსასრულო რაოდენობის სტუმრების დამატება: სტუმარი, რომელიც პირველ ოთახშია გადავა მეორეში, მეორე ოთახში მყოფი კი მეოთხეში გადავა და ა. შ ფორმალურად, $n$-ურ ოთახში მყოფი სტუმარი გადავა $2n$-ურ ოთახში და საბოლოოდ კენტი ნომრების მქონე ოთახები გათავისუფლდება.

ანალიზი

უფრო ფორმალურად რომ განვიხილოთ, ნებისმიერი თვლადი უსასრულო სიმრავლისთვის არსებობს ბიექცია ამ სიმრავლესა და ნატურალურ რიცხვთა სიმრავლეს შორის, ეს სიმრავლე ნატურალურ რიცხვებს რომ შეიცავდეს მაინც. მაგალითად, რაციონალურ რიცხვთა სიმრავლე (რომელიც თვლადია) ქვესიმრავლედ შეიცავს ნატურალურ რიცხვებს, მაგრამ უფრო დიდი არაა, რადგან იგი თვლადია: არსებობს ბიექცია მათ შორის.

ლიტერატურა

• Hilbert, David (2013), Ewald, William; Sieg, Wilfried, რედრედ., David Hilbert’s Lectures on the Foundations of Arithmetics and Logic 1917-1933, Heidelberg: Springer-Verlag, , ISBN 978-3-540-20578-4