ფერმას მცირე თეორემა: განსხვავება გადახედვებს შორის
| [შეუმოწმებელი ვერსია] | [შეუმოწმებელი ვერსია] |
შიგთავსი ამოიშალა შიგთავსი დაემატა
No edit summary |
მ +კატ., en: |
||
ხაზი 1:
'''ფერმას მცირე თეორემა''' არის [[რიცხვთა თეორია|რიცხვთა თეორიის]] ერთ-ერთი მარტივი თეორემა, რომლის მიხედვითაც ნებისმიერი მარტივი რიცხვისთვის <math>p</math> და მისი თანამარტივი (ანუ ამ შემთხვევაში
:<math> a^{p-1} \equiv 1 \pmod p </math>
<math> \pmod p </math> აღნიშნავს იგივეობის შესრულებას <math>p</math> -ს მოდულით. (ანუ იგივეობის ორივე ნაწილი ერთმანეთის ტოლი არ არის. მხოლოდ მათი <math>p</math>-ზე გაყოფის ნაშთებია ტოლი). მოდულის გარეშე თეორემა შეგვიძლია შემდეგნაირად ჩამოვაყალიბოთ:
ხაზი 21:
შესაბამისად გვაქვს:
:<math>a^p - a = n \cdot p</math>
:<math>a \cdot (a^{p-1} - 1) \equiv 0 \pmod p </math>
და რადგან <big><math>a</math></big> <big><math>p</math></big>-ს თანამარტივია, ამიტომ შეგვიძლია <big><math>a</math></big> გამოვრიცხოთ ამ იგივეობიდან.
ხაზი 29:
ანუ:
:<math>(a^{p-1} - 1) \equiv 0 \pmod p</math>
ეს იგივეა რისი დამტკიცებაც გვინდოდა. ანუ დამტკიცება დამთავებულია.
ხაზი 37:
განვიხილოთ შემდეგი რიცხვთა მიმდევრობა
:<math>a^0(=1), a, a^2, a^3, a^4 \ldots </math>
უფრო სწორად დავაკვირდეთ ამ მიმდევრობის წევრების <math>p</math>-ზე გაყოფის ნაშთებს.
:<math>b_0 = a^0 \bmod p (=1), \quad b_1 = a^1 \bmod p, \quad b_2 = a^2 \bmod p\ldots </math>
თითოეულ წევრს ამ მიმდევრობიდან 0-დან <math>p</math>-მდე რაღაც მნიშვნელობა აქვს. ეს მნიშვნელობა 0 ვერ იქნება, იმიტომ რომ <math>a</math> და <math>p</math> თანამარტივი რიცხვებია და შესაბამისად <math>a</math>-ს ხარისხი <math>p</math>-ს ჯერადს ვერ მოგვცემს. ხოლო <math>p</math>-ზე ნაკლები იმიტომ უნდა იყოს თითოეული წევრი, რომ ჩვენ უბრალოდ <math>p</math>-ზე გაყოფის ნაშთებს განვიხილავთ. შესაბამისად ამ მიმდევრობის პირველ <math>p</math> წევრს (<math>b_0</math>-დან <math>b_{p-1}</math>-ს ჩათვლით) მხოლოდ <math>p-1</math> შესაძლო მნიშვნელობის მიღება შეუძლია და ამიტომ ერთი მნიშვნელობა მაინც აუცილებლად ორჯერ მაინც უნდა გამეორდეს.
ხაზი 47:
განვიხილოთ ყველაზე მცირე ინდექსის მქონე <math>b_j</math> რომლის მნიშვნელობაც ერთ-ერთი წინა <math>b_i</math>-ს მნიშვნელობას ემთხვევა (როგორც ავღნიშნეთ ასეთი დამთხვევა აუცილებლად უნდა მოხდეს)
:<math>(b_j = b_i) \Rightarrow (a^j \equiv a^i \pmod p)</math>
სადაც <math>0 \le i < j \le p - 1</math>
ხაზი 53:
შესაბამისად გვაქვს რომ:
:<math>(a^j - a^i \equiv 0 \pmod p ) \Rightarrow ((a^{j-i} - 1)a^i \equiv 0 \pmod p ) \Rightarrow (a^{j-i} - 1)a^i = p \cdot k )</math>
რადგან <math>a</math> <math>p</math>-ს თანამარტივია, <math>a^i</math>-ც <math>p</math>-ს თანამარტივი იქნება და შესაბამისაც <math>a^{j-1} - 1</math> უნდა იყოს <math>p</math>-ს ჯერადი. ეს გვაძლევს რომ:
:<math>(a^{j-1} - 1 \equiv 0 \pmod p) \Rightarrow (a^{j-i} \equiv 1 \pmod p) \Rightarrow b_{j-i} = 1 = b_0 </math>
რადგან <math>0 < j - i \le j</math> ამიტომ <big><math>b_{j-i}</math></big> უნდა იყოს სწორედ ის უმცირესი გამეორებული <big><math>b_j</math></big>. ანუ <big><math>i = 0</math></big> და <big><math>b_j = b_0</math></big> არის პირველი მნიშვნელობის გამეორება ამ მიმდევრობაში.
ხაზი 63:
ახლა დავაკვირდეთ <big><math>b_j</math></big> წევრის შემდეგ მთელი მიმდევრობა თავიდან მეორდება, რადგან:
:<big><math>a^{j+l} \bmod p = a^j \cdot a^l \bmod p = (a^j \bmod p ) \cdot (a^l \bmod p ) \bmod p = b_j \cdot b_l \bmod p = 1 \cdot b_l \bmod p= b_l </math></big>
[[კატეგორია:მათემატიკური თეორემები]]
[[en:Fermat's little theorem]]
| |||