ფერმას მცირე თეორემა: განსხვავება გადახედვებს შორის
| [შეუმოწმებელი ვერსია] | [შეუმოწმებელი ვერსია] |
შიგთავსი ამოიშალა შიგთავსი დაემატა
No edit summary |
No edit summary |
||
ხაზი 11:
== დამტკიცება ==
ფერმას მცირე თეორემის დამტკიცების უამრავი მეთოდი არსებობს. ერთ-ერთი ყველაზე ლამაზი დამტკიცება სხვადასხვა ფრად შეღებილი მძივების გადათვლით ხდება. ამ დამტკიცებისთვის არითმეტიკის გარდა თითქმის არაფრის ცოდნა არ არის საჭირო
თუ განვიხილავთ ყველა შესაძლო <big><math>p</math></big> რგოლიან ჯაჭვს (წრფივი), რომელიც შედგენილია <big><math>a</math></big> სხვადასხვა ფერის ბურთულისგან (შესაძლოა ყველა ფერი არ გამოვიყენოთ ან რამდენიც გვინდა იმდენი ფერი გამოვიყენოთ <big><math>a</math></big>-დან) ასეთი ჯაჭვების რაოდენობა <big><math>a^p</math></big> იქნება. გამოვრიცხოთ ჯაჭვები, რომლებიც მთლიანად ერთი ფერის რგოლებით არიან დამზადებული და დაგვრჩება <big><math>a^p - a</math></big> ცალი ჯაჭვი.
ახლა განვიხილოთ იგივე რაოდენობის ფერებისგან შემდგარი მძივები (ანუ უკვე შეკრული ჯაჭვები). აქაც გამოვრიცხოთ ერთ ფერიანი მძივები. დავუშვათ გვაქვს <big><math>n</math></big> ცალი ასეთი მძივი. თითოეული მძივი, რადგან მისი სიგრძე <big><math>p</math></big>-ს ტოლია, შეგვიძლის <big><math>p</math></big> სხვადასხვა ადგილას გავჭრათ და ჯაჭვი მივიღოთ. თუ შევამოწვებთ ადვილი დასანახია, რომ ასეთნაირად მიღებული ყველა ჯაჭვი სხვადასხვა იქნება (რადგან ერთ-ფერიანი ჯაჭვები გამოვრიცხეთ და <big><math>a</math></big> და <big><math>p</math></big> თანამარტივებია). შესაბამისად სულ გვექნება:
<math>n \cdot p</math> ცალი სხვადასხვა ჯაჭვი. ასევე ადვილი მისახვედრია, რომ ასეთი ხერხით ყველა არაერთფარი ჯაჭვის მიღებაა შესაძლებელი (თითოეული ჯაჭვი ხომ შეგვიძლია შევკრათ და მძივი მივიღოთ, შესაბამისად ამ მძივის გაჭრით იგივე ადგილას იმავე ჯაჭვს მივიღებთ). ჯაჭვების რაოდენობა კი, როგორც გვახსოვს <big><math>a^p - a</math></big> -ს ტოლი იყო.
შესაბამისად გვაქვს:
<math>a^p - a = n \cdot p</math>
<math>a \cdot (a^{p-1} - 1) \equiv 0 \pmod p </math>
და რადგან <big><math>a</math></big> <big><math>p</math></big>-ს თანამარტივია, ამიტომ შეგვიძლია <big><math>a</math></big> გამოვრიცხოთ ამ იგივეობიდან.
ანუ:
<math>(a^{p-1} - 1) \equiv 0 \pmod p</math>
ეს იგივეა რისი დამტკიცებაც გვინდოდა. ანუ დამტკიცება დამთავებულია.
უფრო სტანდარტული დამტკიცება, რომელიც უფრო მეტად რიცხვთა თეორიას ემყარება და არა მძივების დატრიალების შედეგად მიღებული ჯაჭვების შედარებას, ქვემოთ არის მოცემული.
განვიხილოთ შემდეგი რიცხვთა მიმდევრობა
| |||