წრფივი ალგებრა: განსხვავება გადახედვებს შორის

clean up, replaced: ერთერთი → ერთ-ერთი (3) using AWB
(clean up, replaced: ერთერთი → ერთ-ერთი (3) using AWB)
[[ფაილი:Linear subspaces with shading.svg|მინი|სამგანზომილებიანი [[ევკლიდური სივრცე]]]]
'''წრფივი ალგებრა''' — [[მათემატიკა|მათემატიკის]], უფრო ვიწროდ კი [[ალგებრა|ალგებრის]] დარგი რომელიც შეისწავლის [[ვექტორი|ვექტორებს]], [[წრფივი სივრცე|ვექტორულ სივრცეებს]] (სხვანაირად წრფივი სივრცე), [[წრფივი გარდაქმნა|წრფივ გარდაქმნებს]] და მსგავს მათემატიკურ [[სტრუქტურა|სტრუქტურებს]]. წრფივი გარდაქმნა განსაკუთრებული ასახვაა, რომელიც ინახავს წრფივი სივრცის ოპერაციებს. წრფივი ალგებრა თანამედროვე მათემატიკის მნიშვნელოვანი დარგია. ის გამოიყენება წრფივი [[განტოლება|განტოლებების]] [[სისტემა (მათემატიკა)|სისტემის]] ამოსახსნელად, [[აბსტრაქტული ალგებრა|აბსტრაქტულ ალგებრასა]] და [[ფუნქციური ანალიზი|ფუნქციურ ანალიზში]]. წრფივი ალგებრის სტრუქტურების წარმოსახვაში [[ანალიტიკური გეომეტრია]] გვეხმარება. ის ფართოდ გამოიყენება [[ინჟინერია]]ში, [[ფიზიკა]]სა და სხვადასხვა [[მეცნიერება|მეცნიერებებში]].
 
 
===== 1. წრფივი სივრცე =====
წრფივი სივრცის ქვესიმრავლე თუ სივრცეში განსაზღვრული ოპერაციების მიმართ ჩაკეტილია, მაშინ იგი თვით იქნება წრფივი სივრცე. ამგვარ ქვესიმრავლეს ქვესივრცეს უწოდებენ.
 
მხოლოდ ნული ერთერთიერთ-ერთი ქვესივრცეა, ერთადერთი, რომელიც ერთი ვექტორისაგან შესდგება. თვით სივრცეც ფორმალურად თავის თავის ქვესივრცეა. შემდგომში ჩვეულებრივ ქვესივრცედ ამ ქვესივრცეს არ ვიგულისხმებთ.
 
მაგალითი 2.1
აფინური სივრცის ყველაზე გავრცელებულ მაგალითს იძლევა ქვესივრცე. ვთქვათ T არის S-ის ქვესივრცე. ავირჩიოთ რაიმე წერტილი S-დან s და განვიხილოთ ყველა ჯამი s + t, სადაც t ეკუთვნის T-ს, ანუ სიმრავლე s + T. ეს სიმრავლე იქნება T-ს მიმართ აფინური სივრცე.
 
თუ დავუკვირდებით A მიმართებაშია S-თან, როგორც თვით S სივრცე ველთან V. თვით წრფივი სივრცე S, რასაკვირველია, აფინური სივრცის ერთერთიერთ-ერთი მაგალითია. თუ აფინურ სივრცეში წერტილს დავაფიქსირებთ ამ წერტილს მიმატებული ვექტორები განსაზღვრავს წრფივი სივრცის ურთიერთცალსახა ასახვას აფინურ სივრცეში. ამ ასახვით S შეგვიძლია განვიხილოთ სივრცის A არჩეულ წერტილში მხებ სივრცედ.
 
აფინური სივრცის ყოველ წერტილ a-ზე გამავალი წრფე არის წერტილების a + v • s სიმრავლე, სადაც v გაირბენს ველის ელემენტებს, ხოლო s ფიქსირებული ვექტორია. ორი წრფე {a + v • s} და {b + v • t} პარალელურია თუ მათი განმსაზღვრელი ვექტორები ჯერადია, ანუ t = v • s, რომელიღაც v-სათვის ველიდან. რადგან წერტილთა ყოველი წყვილისათვის a და b არსებობს ერთადერთი ვექტორი s = b - a, გამოდის რომ არსებობს მათზე გამავალი ერთადერთი წრფე {a + v • s}.
4. ფაქტორსივრცე
 
ავიღოთ S-ში ქვესივრცე T. ნებისმიერი ელემენტისათვის u სივრციდან S განვიხილოთ u + T ქვესიმრავლე. ეს ქვესიმრავლე T-ს მიმართ აფინური სივრცეა. მთელი სივრცე დაიყოფა ურთიერთ არაგადამკვეთ აფინურ სივრცეებად, შრეებად. თუ ვექტორი v შედის u + T შრეში, მაშინ v = u + t, სადაც t ქვესივრცე T-ს ვექტორია. ამიტომ შრეები u + T და v + T ერთი და იგივეა, ანუ u + T = v + T. შრეები ან არ გადაიკვეთება, ან ემთხვევა ერთმანეთს. ერთერთიერთ-ერთი ამგვარი შრე თვით ქვესივრცე T-ა. ამ შრეთა ერთობლიობა წრფივი სივრცეა ინდუცირებული შეკრებისა და ველის ელემენტზე გამრავლების მიმართ. ამ წრფივ სივრცეს ფაქტორსივრცეს უწოდებენ და აღნიშნავენ S / T-თი.
 
თუ ქვესივრცე R-სა და T-ს თანაკვეთა ნულია, მაშინ R-ს ყოველ შრეში აქვს არა უმეტეს ერთი ელემენტისა. მართლაც, R-ში რომ არსებობდეს ორი განსხვავებული ელემენტი s და r, რომელიც T-ს მიმართ ერთი და იგივე შრეში შედის, მაშინ r - s უნდა ეკუთვნოდეს T-ს, ანუ r - s = 0, r = s. რაც ეწინააღმდეგება დაშვებას. აქედან გამომდინარეობს