დეკარტის კოორდინატთა სისტემა: განსხვავება გადახედვებს შორის
| [შეუმოწმებელი ვერსია] | [შეუმოწმებელი ვერსია] |
შიგთავსი ამოიშალა შიგთავსი დაემატა
მ Bot: 56 ენათაშორისი ბმული გადატანილია Wikidata-ზე, d:q62912 |
მ clean up, replaced: მაშტაბ → მასშტაბ (2) using AWB |
||
ხაზი 1:
[[სურათი:Cartesian-coordinate-system.svg|მინი|right|250პქ|დეკარტეს კოორდინატების ილუსტრაცია სიბრტყეზე. ნაჩვენებია 4 წერტილი და მათი კოორდინატები: (2, 3) მწვანედ, (−3, 1) წითლად, (−1.5, −2.5) ლურჯად და კოორდინატთა სათავე (0, 0) შინდისფრად.]]
'''დეკარტეს კოორდინატთა სისტემა''' განსაზღვრავს ნებისმიერი წერტილის მდებარეობას სიბრტყეზე ორი რიცხვის, '''კოორდინატების''' მეშვეობით, რომლებიც არიან დადებითი ან უარყოფითი რიცხვები, რომლებიც განსაზღვრავენ მანძილს ამ წერტილიდან ორ ფიქსირებულ ურთიერთმართობულ წრფეებამდე (კოორდინატთა ღერძებამდე).
'''კოორდინატთა ღერძებს''' ხშირაბ უბრალოდ '''ღერძებს''' უწოდებენ, ხოლო მათი გადაკვეთის წერტილს კი '''კოორდინატთა სათავეს'''.
ეს პრინციპი მარტივად შეიძლება განზოგადდეს სამგანზომილებიანი სივრცის შემთხვევაში. სამგანზომილებიან სივრცეში გვექნება სამი ურთიერთმართობული კოორდინატთა ღერძი, და რაიმე წერტილის მდებარეობა სივრცეში განისაზღვრება როგორც მანძილი ამ წერტილიდან კოორდინატთა ღერძების წყვილებზე გავლებულ სიბრტყეებამდე. ანალოგიურად, '''n''' განზომილებიან სირცეში წერტილის მდებარეობა შეიძლება დახასიათდეს '''n''' დეკარტეს კოორდინატით.
ხაზი 11:
დეკარტეს კოორდინატთა სისტემა შემოღებული იქნა [[დეკარტი, რენე|რენე დეკატი]]ს მიერ 17 საუკუნეში. ეს მოვლენა რევოლუციური იყო მათემატიკის ისტორიაში, რადგან პირველად გახდა შესაძლებელი [[ევკლიდეს გეომეტრია|ევკლიდეს გეემეტრიისა]] და [[ალგებრა|ალგებრის]] სისტემური დაკავშირება. დეკარტეს კოორდინატთა სისტემის გამოყენებით ნებისმიერი გეომეტრიული ფიგურის ფორმა შეიძლება ჩაწერილი იქნას '''დეკარტეს განტოლებსის''' მეშვეობით, რომელიც წარმოადგენს ალგებრულ განტოლებას და აკავშირებს გეომეტრიული ფიგურის კოორდინატებს. მაგალითად, 2-ის ტოლი რადიუსის წრეწირი შეიძლება მოცემული იქნას როგორც ყველა იმ წერტილის ერთობლიობა, რომელთა კოორდინატები ''x'' და ''y'' აკმაყოფილებენ განტოლებას''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> = 4.
დეკარტეს კოორდინატები წარმოადგენენ [[ანალიზური გეომეტრია|ანალიზური გეომეტრიის]] საფუძველს, და ინტენსიურად გამოიყენება მათემატიკის ბევრ სხვა დარგში, როგორიცაა [[წრფივი ალგებრა]], [[კომპლექსური ცვლადის ფუნქციათა თეორია]], [[დიფერენციალური გეომეტრია]], [[ჯგუფთა თეორია]] და ა.შ. ისინი აგრეთვე ინტენსიურად გამოიყენება [[ასტრონომია]]ში, [[ფიზიკა]]ში და სხვა მეცნიერებებში.
==განმარტებები==
ხაზი 19:
{{მთავარი|რიცხვითი ღერძი}}
ერთგანზომილებინი სივრცეში, ანუ წრფეზე დეკარტეს კოორდინატთა სისტემის განსაზღვრა გულისხმობს რაიმე ''O''-წერტილის არჩევას ([[კოორდინატთა სათავე]]), სიგრძის ერთეულის არჩევას და ამ წრფეზე მიმართულების (ორიენტაციის) არჩევას. ეს უკანასკნელი გულისხმობს, რომ ''O''-წერტილიდან გამომავალ ერთ ერთ სხივი (ნახევარწრფე) განისაზღვრება როგორც ''დადებითი'', ხოლო მერე როგორც ''უარყოფითი''. ამის შემდეგ იტყვიან, რომ ღერძის მიმართულება არის მიმართულება უარყოფითი ნახევრიდან დადებითი ნახევრისკენ. ასეთი არჩევის შემდეგ წრფეზე განლაგებული ყველა წერტილის შეიძლება დახასიათდეს ''O''-სათავიდან ამ წერტილამდე მანძილით, რომელსაც მიენიჭება დადებითი ან უარყოფითი ნიშანი იმის მიხედვით თუ რომელ ნახევარწრფეზე არის განლაგებული წერტილი.
წრფეს მასზე განსაზღვრული დეკარტეს კოორდინატთა სისტემით ''რიცხვითი ღერძი'' ეწოდება. ნებისმიერ რიცხვს იქნება ის [[ნატურალურირიცხვი|ნატურალური]], [[რაციონალური რიცხვი|რაციონალური]] თუ [[ირაციონალური რიცხვი|ირაციონალური]] ასეთ წრფეზე ერთადერთი მდებარეობა შეესაბამება. და საპირისპიროდ, ნებისმიერი წერტილი წრფეზე შეიძლება დახასიათდეს ერთი [[რიცხვი]]თ.
ხაზი 25:
===დეკარტეს კოორდინატები სიბრტყეზე===
დეკარტეს კოორდინატთა სისტემა ორ განზომილებაში (სიბრტყეზე) შედგება ორი პერპენდიკულარული წრფისგან (კოორდინატთა ღერძებისგან), ორივე ღერძისთვის განსაზღვრული ერთიდაიგივე სიგრძის ერთეულისგან და თითოეული ღერძისთვის განსაზღვრული მიმართულებისგან. ამ ღერძებს ხშირად ''x'' და ''y''-ღერძებს უწოდებენ, სადაც ''x''-ღერძი როგორც წესი არის ჰორიზონტალური, ხოლო ''y''-ღერძი ვერტიკალური. ღერძების გადაკვეთის წერტილი წარმოადგენს ათვლის წერტილს ორივე ღერძისთვის და შესაბამისად ორივე ღერძი წარმოადგენს ცალკე რიცხვით ღერძს.
ნებისმიერი ''P'' წერტილის კოორდინატები შემდეგნაირად განისაზღვრება. ''P'' წერტილიდან ავლებენ ორ ღერძს, პირველს, რომელიც ''x''-ღერძის პერპენდიკულარულია და კვეთავს მას რაიმე ''X'' წერტილში, და მეორეს, რომელიც ''y''-ღერძის პერპენდიკულარულია და კვეთავს მას ''Y'' წერტილში. ''P'' წერტილის ''x'' და ''y'' კოორდინატები სიბრტყეზე არის შესაბამისად ''X'' და ''Y''.
ხაზი 51:
====მასშტაბური ინვარიანტობა====
რაიმე წერტილების ერთობლიობისგან შედგენილი ფიგურის ზომის გაზრდა ან შემცირება ექნივალენტურია ამ ფიგურის ყველა წერტილის დეკარტეს კოორდინატების ერთიდაიმავე დადებით ''m'' რიცხვზე გამრავლებისა. თუ (''x'',''y'') არის საწტისი ფიგურის რაიმე წერტილის კოორდინატები, მაშინ
:<math>(x',y') = (m x, m y).\,</math>
თუ ''m'' 1-ზე მეტია, მაშინ ფიგურის ზომა იზრდება, ხოლო თუ ''m''-ის მნიშვნელობა 0-სა და 1-ს შორიასაა, მაშინ მცირდება.
ხაზი 70:
====ზოგადი გარდაქმნები====
სიბრტყეზე [[ევკლიდური გარდაქმნები]]ა წანაცვლება,
:<math>(x',y') = (x,y) A + b\,</math>
სადაც ''A'' არის 2×2 [[მატრიცა]] ხოლო ''b'' არის რაიმე რიცხვების წყვილი, რომელიც დამოკიდებულია განხორციელებულ გარდაქმნაზე. გაშლილი ფორმით ეს განტოლება შემდეგნაირად ჩაიწერება
| |||