მაქსველის განტოლებები: განსხვავება გადახედვებს შორის

მაქსველის განტოლებათა სისტემაში შემავალი ოთხი განტოლება, [[ლორენცის ძალა]]სთან ერთად შეადგენენ კლასიკური [[ელექტროდინამიკა|ელექტროდინამიკის]] კანონების სრულ სისტემას. აღსანიშნავია, რომ [[ლორენცის ძალა|ლორენცის ძალის]] გამოსახულება ასევე [[ჯეიმზ კლარკ მაქსველი|მაქსველის]] მიერ იქნა მიღებული ''ელექტრომამოძრავებელი ძალის განტოლების'' სახელწოდებით.

 

ამ თავში მოცემულია მაქსველის განტოლებების კონცეპტუალური აღწერა და მათ შორის ურთიერთკავშირის მოკლე ანალიზი. განტოლებების მათემატიკური ფორმულირება მოცემულია შემდეგ თავებში. მაქსველის განტოლებათა სისტემა შედგება შემდეგი კანონებისგან:

 

 

 

 

 

 

ამპერის კანონის მაქსველის კორექტირება (წანაცვლების დენი) განსაკუთრებით მნიშვნელოვანია. ამ კორექტირების მიხედვით ცვლადი [[მაგნიტური ველი]] აგენერირებს [[ელექტრული ველი|ელექტრულ ველს]].<ref name=VideoGlossary/><ref>[http://books.google.com/books?id=1DZz341Pp50C&pg=PA809 ''Principles of physics: a calculus-based text''], by R.A. Serway, J.W. Jewett, page 809.</ref> მაშასადამე, მაქსველის განტოლებათა სისტემა უშვებს სპეციფიური თვითშეთანხმებულიამონახსენის, [[ელექტრომაგნიტური ტალღა|ელექტრომაგნიტური ტალღის]] არსებობას ვაკუუმში.

 

ქვემოთ მოცემულია მაქსველის განტოლებები [[SI სისტემა]]ში. მექანიკის განტოლებებისგან განსხვავებით [[ელექტროდინამიკა|ელექტროდინამიკის]] განტოლებების სახე დამოკიდებულია არჩეულ ერთეულთა სისტემაზე.<ref name=Griffiths>

{{cite book

|-

| [[ამპერის კანონი]]<br />(მაქსველის შესწორებით)

| <math>\oint_{\partial S} \mathbf{H} \cdot \mathrm{d}\mathbf{l} = I_{f,S} + \frac {\partial \Phi_{D,S}}{\partial t}

</math>

! SI სისტემის ერთეული

|-

| [[ელექტრული ველის დაძაბულობა]]

| [[ვოლტი]] [[მეტრი|მეტრზე]] ან, (ექვივალენტურია) <br />[[ნიუტონი]] [[კულონი|კულონზე]]

|-

| [[მაგნიტური ინდუქცია]]

|-

| [[ელექტრული ინდუქცია]]

| [[კულონი]] კვადრატულ [[მეტრი|მეტრზე]]

|-

| [[მაგნიტური ველის დაძაბულობა]]

| [[ამპერი]] [[მეტრი|მეტრზე]]

|-

| [[დივერგენცია|დივერგენციის]] ოპერატორი

|rowspan=2 | 1/[[მეტრი|მეტრზე]]

|-

|-

| [[კერძო წარმოებული]] დროის მიხედვით

| 1/[[წამი]]

|-

| ''A'' ზედაპირის ინფინიტეზიმალური ვექტორული ელემენტი რომლის მიმართულება ''S'' ზედაპირის ნორმალის პარალელურია.

| კვადრატული [[მეტრი]]

|-

| წირის გასწვრივი დიფიერენციალური ვექტორული ელემენტი

| მეტრი

|-

| [[ელექტრული მუდმივა]]

| [[ფარადა]] მეტრზე

|-

| [[მაგნიტური მუდმივა]]

|-

| [[თავუსუფალი მუხტი|თავისუფალი]] [[მუხტის სიმკვრივე]]

| [[კულონი]] კუბურ მეტრზე

|-

| სრული [[მუხტის სიმკვრივე]]

| [[კულონი]] კუბურ მეტრზე

|-

| [[თავისუფალი დენი|თავისუფალი]] [[დენის სიმკვრივე]]

| [[ამპერი]] კვადრატულ მეტრზე

|-

| სრული [[დენის სიმკვრივე]] (მოიცავს როგორც [[თავისუფალი დენი|თავისუფალ]], ასევე [[ბმული დენი|ბმულ დენებს]])

| [[ამპერი]] კვადრატულ მეტრზე

|-

| სრული [[თავუსუფალი მუხტი|თავისუფალი]] [[მუხტის სიმკვრივე]] რაიმე ''V'' მოცულობაში

| [[კულონი]]

|-

| სრული [[მუხტი]] რაიმე ''V'' მოცულობაში (მოიცავს როგორც [[თავისუფალი მუხტი|თავისუფალ]] ასევე [[ბმული მუხტი|ბმულ მუხტს]])

| [[კულონი]]

|-

| [[ელექტრული ველის დაძაბულობა|ელექტრული ველის დაძაბულობის]] წირითი [[ინტეგრალი]] რაიმე S ზედაპირის სასაზღვრო ∂S (ჩაკეტილი) წირის გასწვრივ.

| [[ჯოული]] კულონზე

|-

| [[მაგნიტური ინდუქცია|მაგნიტური ინდუქციის]] წირითი [[ინტეგრალი]] რაიმე S ზედაპირის სასაზღვრო ∂S (ჩაკეტილი) წირის გასწვრივ

|-

| [[ელექტრული ნაკადი]] ([[ელექტრული ველის დაძაბულობა|ელექტრული ველის დაძაბულობის]] ზედაპირული ინტეგრალი) რაიმე ჩაკეტილ ზედაპირზე <math>\partial V</math> (''V'' მოცულობის საზღვარზე)

| ჯოული მეტრი კულონზე

|-

| [[მაგნიტური ნაკადი]] ([[მაგნიტური ინდუქცია|მაგნიტური ინდუქციის]] ზედაპირული ინტეგრალი) რაიმე ჩაკეტილ ზედაპირზე <math>\partial V</math> (''V'' მოცულობის საზღვარზე)

|-

| [[მაგნიტური ნაკადი]] რაიმე S ზედაპირზე

|-

| [[ელექტრული ველის დაძაბულობა|ელექტრული ველის დაძაბულობის]] ნაკადი რაიმე S ზედაპიზე

| [[ჯოული]] [[მეტრი]] [[კულონი]]^-1

|-

| [[ელექტრული ინდუქცია|ელექტრული ინდუქციის]] ნაკადი რომელიც განჭოლავს რაიმე Sზედაპირს

| [[კულონი]]

|-

| სრული [[თავისუფალი დენი|თავისუფალი]] [[ელექტრული დენი]] გამავალი რაიმე S ზედაპირში

| [[ამპერი]]

|-

| სრული [[ელექტრული დენი]] გამავალი რაიმე S ზედაპირში

| [[ამპერი]]

|}

 

=== ბმული (შიდა) მუხტი და დენი ===

 

 

როდესაც ელექტრული ველი მოდებულია [[დიელექტრიკი|დიელექტრიკზე]], მისი თითოეული მოლეკულა მცირედ დეფორმირდება, ისე რომ იგი ქმნის ელექტრულ დიპოლს - ბირთვი მცირედ წაინასვლებს ველის მიმართულებით, ხოლო [[ელექტრონი]]ს საშუალო მდებარეობა მცირედ წაინაცვლებს ველის საპირისპირო მიმართულებით. ამ მოვლენას სხეულის პოლარიზაცია ეწოდება. იდეალიზირებულ შემთხვევაში (იხ. სურათი) ეს გადახრები იდენტურია და იწვევს დადებითი [[მუხტი]]ს თავმოყრას ერთ მხარეს, ხოლო ურყოფითი მუხტისას მეორე მხარეს (მუხტის მაკროსკოპული გაყოფა), მიუხედავად იმისა, რომ სხეულში არსებული ყველა მუხტი კვლავ ბმულია კონკრეტულ მოლეკულასთან. მოცულობითი პოლარიზაცია '''P''' არის შიდა (ბმული) მუხტის პოლარიზაციის შედეგი.

ეს განხილვა გვიჩვენებს, რომ ბევრ პრაქტიკულ ამოცანაში ატომების მიკრისკოპული დინამიკა შეიძლება დამაკმაყოფილებლად იქნას აღწერილი გამარტივებული მიდგომის ფარგლებში, მიკროსკოპული თვისებების დეტალების დაკონკრეტების გარეშე.

 

იმისთვის, რომ მაქსველის განტოლებათა სისტემამ მიიღოს ჩაკეტილი სახე და შეძაძლებელი გახდეს მისი ამოხსნა, საჭიროა დამატებით თანაფარდობების შემოტანა, რომლებიც ერთმანეთთნ დააკავშირებს '''D''' და '''E''' ველებს ერთის მხრივ, '''H''' და '''B''' ველებს მეორეს მხრივ.

 

საჭირო კავშირი ელექტრომაგნიტურ ველებს შორის შეიძლება იყოს განსაზღვრული როგორც ემპირიულად (დადგენილი იქნას ექსპერიმენტულად), ასევე თეორიულად (დადგენილი იქნას [[სტატისტიკური მექანიკა|სტატისტიკური მექანიკის]], [[მყარი ტანის ფიზიკა|მყარი ტანის ფიზიკისა]] და [[თეორიული ფიზიკა|თეორიული ფიზიკის]] სხვა დარგების გამოყენებით). მას შემდეგ, რად ამა თუ იმ გზით, დადგენილია თუ როგორ რეაგირებს გარე ელექტრომაგნიტურ ველზე ბმული მუხტი და დენი, მაქსველის განტოლებები შეიძლება ჩაწერილი იქნას მხოლოდ '''E''' და '''B''' ველების მეშვეობით.

 

თუ განსახილველი პრობლემა არ მოიცავს მაგნიტურ სხეულებსა და [[დიელექტრიკი|დიელექტრიკებს]], მაშინ საძიებელ კავშირს მარტივი სახე აქვს:

 

სადაც ε₀ არის [[ელექტრული მუდმივა]], ხოლო μ₀ კი არის [[მაგნიტური მუდმივა]].

 

წრფივ, იზოტროპულ და არადისპერსიულ გარემოში სხვადასხვა ველებს შორის კავშირს ასევე მარტივი სახე აქვს:

:<math>\mathbf{D} = \epsilon\mathbf{E}, \;\;\; \mathbf{H} = \mathbf{B}/\mu</math>

სადაც ε და μ არიან მუდმივები (დამოკიდებული კონკრეტულ ნივთიერებაზე) რომლებსაც შესაბამისად [[დიელექტრიკული შეღწევადობა]] და [[მაგნიტური შეღწევადობა]] ეწოდებათ.

 

რეალური სხეულებისთვის მატერიალურ განტოლებებში შემავალი ველები ხშირად არ არის ერთმანეთის პირდაპირ პროპორციული, თუმცა ხშირად მიახლოებით შეიძლება ისევ ჩაიწეროს როგორც:

:<math>\mathbf{D} = \epsilon\mathbf{E}, \;\;\; \mathbf{H} = \mathbf{B}/\mu</math>

\hat{\chi}_{\mathrm{magn}} (\mathbf{r}, \mathbf{r}', t, t'; \mathbf{B})\, \mathbf{B}(\mathbf{r}', t')</math>.

 

თუ წრფივი გარემოს მატერიალურ განტოლებებს მაქსველის განტოლებებში ჩავსვამთ, მივიღებთ:

:<math>\nabla \cdot (\epsilon \mathbf{E}) = \rho_f </math>

ეს განტოლებები იდენტურია '''E''' და '''B''' ველების მეშვეობით ზემოთ მოყვანილი ფორმისა, იმ განსხვავებით, რომ [[ელექტრული მუდმივა]] შეიცვალა გარემოს [[დიელექტრიკული შეღწევადობა|დიელექტრიკული შეღწევადობით]], ხოლო [[მაგნიტური მუდმივა]] [[მაგნიტური შეღწევადობა|მაგნიტური შეღწევადობით]]. გარდა ამისა, ახლა [[მუხტი]]და და [[ელექტრული დენი]]ს ქვეშ იგულისხმება მხოლოდ ''თავისუფალი'' მუხტი და დენი.

 

თუ განვიხილავთ შემთხვევას, როდესაც არ გვაქვს არც ბმული და არც თავისუფალი მუხტები და დენები, მაშინ მაქსველის განტოლებები მიიღებს სახეს:

 

მაქსველის განტოლებები იძლევა ფიზიკურ ახსნას, თუ რატომ ვრცელდება ასეთი ტიპის ტალღები სივრცეში: ცვლადი [[მაგნიტური ველი]] აგენერირებს ცვლად [[ელექტრული ველი|ელექტრულ ველს]] [[ფარადეის ინდუქციის კანონი]]ს შესაბამისად, ხოლო ელექტრული ველი, თავის მხრივ, აგენერირებს ცვლად მაგნიტურ ველს (მაქსველის მიერ შესწორებული [[ამპერის კანონი]]ს შესაბამისად). ეს ურთიერთკავშირი განაპირობებს იმას, რომ ასეთ ტალღებს ([[ელექტრომაგნიტური ტალღა]]) შეუძლიათ გავრცელება სივრცეში ე.წ. [[სინათლის სიჩქარე|სინათლის]] ''c'' სიჩქარით.

 

ზემოთ ყველა განტოლება მოცემული იყო [[SI სისტემა]]ში. ალტერნატიულ [[სანტიმეტრი-გრამი-წამი ერთეულთა სისტემა]]ში არსებობს ელექტრომაგნიტური ფიზიკური სიდიდეების ერთეულთა რამდენიმე შესაძლო განსაზღვრება. მათ შორის ყველაზე პოპულარულ, [[გაუსის ერთეულთა სისტემა]]ში მაქსველის განტოლებებს აქვს სახე:<ref name=Littlejohn>

{{cite web

სადაც <math> q \ </math> არის ნაწილაკის მუხტი, ხოლო <math> \mathbf{v} \ </math> მისი [[სიჩქარე]].

 

მაქსველის განტოლებებს ახლო კავშირი აქვთ [[ფარდობითობის სპეციალური თეორია|ფარდობითობის სპეციალურ თეორიასთან]]: ერთის მხრივ ისტორიულად მაქსველის განტოლებებმა უმნიშვნელოვანესი როლი შეასრულეს ამ თეორიის განვითარებაში, ხოლო მერეს მხრივ ფარდობითობის თეორია მაქსველის განტოლებების მათემატიკურად კომპაქტურად ჩაწერის საშუალებას იძლევა (კოვარიანტული [[ტენზორი|ტენზორების]] მეშვეობით).

 

 

ფარდობითობის სპეციალურ თეორიაში იმის ხაზგასასმელად, რომ მაქსველის განტოლებებს ერთიდაიგივე ფორმა აქვთ ათვლის ნებისმიერ ინერციულ სისტემაში, მათ წერენ ე.წ. კოვარიანტული სახით [[ოთხვექტორი|ოთხვექტორების]] მეშვეობით.

არის ოთხ-გრადიენტი.

 

 

მაქსველის განტოლებების ჩაწერა კიდევ ერთი ალტერნატიული ფორმითაა შესაძლებელი [[ელექტრული პოტენციალი]]სა და [[მაგნიტური პოტენციალი]]ს ცნებების გამოყენებით. <ref name="Jackson"/>

[[გაუსის კანონი მაგნეტიზმისთვის]] გვაძლევს:

:<math>\nabla\cdot\mathbf{B} = 0.</math>

:<math>\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}.</math>

 

მიღებული განტოლებათა სისტემა მაქსველის განტოლებების ექვივალენტურია. მეტიც, ასეთი ფორმულირება გარკვეული აზრით ამარტივებს განტოლებებს, რადგან [[ელექტრული ველის დაძაბულობა]]სა და [[მაგნიტური ინდუქცია|მაგნიტური ინდუქციას]] როგორც ვექტორულ ველებს სამ-სამი კომპონენტი აქვთ (სულ 6 უცნობი [[ფუნქცია]]), მაშინ როდესაც ელექტრულ და მაგნიტურ პოტენციალებს ერთად სულ 4 დამოუკიდებელი კომპონენტი აქვთ.

 

* [[გაუსის კანონი]]

* [[ბიო-სავარის კანონი]]

* [[ლორენცის ძალა]]

 

{{სქოლიოს სია|2}}

 

[[cs:Maxwellovy rovnice]]

[[da:Maxwells ligninger]]

[[el:Εξισώσεις Μάξγουελ]]

[[en:Maxwell's equations]]