პუანკარე-ბირკჰოფ-ვიტის თეორემა

მათემატიკაში პუანკარე- ბირკჰოფ-ვიტის თეორემა იძლევა ლის ალგებრის უნივერსალური მომვლები ალგებრის აღწერას.

ვთქვათ ${\mathfrak {g}}$ ლის ალგებრაა F ველზე. მოდი $U({\mathfrak {g}})$ იყოს ${\mathfrak {g}}$-ს უნივერსალური მომვლები ალგებრა. რადგან ეს უკანასკნელი არის ტენზორული ალგებრის ფაქტორ-ალგებრა, ამიტომ $U({\mathfrak {g}})$-ს გააჩნია გაფილტრული ალგებრის სტრუქტურა, სადაც $U_{k}({\mathfrak {g}})$ არის $U({\mathfrak {g}})$-ს ქვესივრცე მოჭიმული ${\mathfrak {g}}$-ს არაუმეტრეს k-ელემენტთა ნამრავლების მიერ. შესაბამისი დაგრადული ალგებრა

$gr(U)({\mathfrak {g}})=U_{0}\oplus U_{1}/U_{0}\oplus \cdots \oplus U_{k}/U_{k-1}\oplus \cdots$

არის კომუტატური, ამასთან :$U_{0}=F$ და :$U_{1}({\mathfrak {g}})/U_{0}({\mathfrak {g}})={\mathfrak {g}}$ რის გამოც ჩნდება კომუტატურ ალგებრათა ერთადერთი ჰომომორფიზმი

$\pi :S^{*}({\mathfrak {g}})\to gr(U)({\mathfrak {g}})$

რომელიც იგივურია ${\mathfrak {g}}$ ქვესივრცეზე. აქ $S^{*}(V)$ აღნიშნავს V ვექტორული სივრცით წარმოქნილ სიმეტრიულ ალგებრას. პუანკარე- ბირკჰოფ-ვიტის თეორემა ამბობს, რომ $\pi$ არის იზომორფიზმი.

ლიტერატურა

• N. Bourbaki, Groupes et algèbres de Lie. Chapitre 1-2. Springer; 2006.

ISBN-10: 3540353356.