პასკალის სამკუთხედი

მათემატიკაში პასკალის სამკუთხედი ეწოდება ბინომური კოეფიციენტების სამკუთხა მასივს. გვხვდება ალბთობის თეორიაში, კომბინატორიკაში და ალგებრაში. აღმოსავლურ ქვეყნებში სამკუთხედის სახელი ფრანგი მეცნიერის, ბლეზ პასკალის სახელთანაა დაკავშირებული, იმის მიუხედავად რომ მის გამოჩენამდე ათობით საუკუნის წინაც არსებობდნენ მათემატიკოსები, რომლებიც ამ სამკუთხედს იკვლევდნენ.

${\begin{array}{c}1\\1\quad 1\\1\quad 2\quad 1\\1\quad 3\quad 3\quad 1\\1\quad 4\quad 6\quad 4\quad 1\\1\quad 5\quad 10\quad 10\quad 5\quad 1\\1\quad 6\quad 15\quad 20\quad 15\quad 6\quad 1\\1\quad 7\quad 21\quad 35\quad 35\quad 21\quad 7\quad 1\\\end{array}}$

პასკალის სამკუთხედი 0 მწრივიდან მე-7 მწკრივამდე

სამკუთხედის მწკრივები დანომრილია. იწყება მწკრივით $n=0$. $n$ წკრივში არის $n+1$ რაოდენობის ელემენტი. სამკუთხედის ყველა ელემენტი ზედა მარცხენა და ზედა მარჯვენა ელემენტის ჯამს უდრის.

მთავარი ფორმულა

ელემენტი სამკუთხედის მე-$n$ მწკრივში და მე-$k$ სვეტში ჩაიწერება როგორც ${\displaystyle {n \choose k}}$

მაგალითად, 0 მწკივსა და 0 სვეტში მდებარე ელემენტი 1-ია, ასე რომ, ${0 \choose 0}=1$

ამ უკანასკნელის გამოთვლა ხდება ფორმულით:

${n \choose k}={n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}$

სადაც $n$ ნებისმიერი არაუარყოფითი რიცხვია და $0\leq k\leq n$. ეს ფორმულა პასკალის წესის სახელითაა ცნობილი.

პასკალის სამკუთხედს მაღალ განზომილებებშიც აქვს განზოგადებები, მაგალითად, არსებობს სამკუთხედის სამგანზომილებიანი ვარიანტი, რომელიც პასკალის პირამიდის ან პასკალის ტეტრაედრის სახელითაა ცნობილი

ისტორია

პასკალის სამკუთხედის ელემენტების დალაგების წესი პასკალამდეც გავრცელებული იყო, მაგრამ ის გახლდათ ინოვატორი ამ სამკუთხედის რიცხვების სხვადასხვა გამოყენებაში. მან თავისი აღმოჩენები გამოსცა ნაშრომში „Traité du triangle arithmétique“, რომელიც სამკუთხედისთვის მიძღვნილ პირველ ტრაქტატს წარმოადგენს.

პასკალამდე ამ სამკუთხედის შესწავლა ინდოეთში დაიწყეს. როგორც ჩანს, მათემატიკოსმა პინგალამ ჯერ კიდევ ძვ.წ მეორე საუკუნეში იცოდა ${n \choose k}={n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}$ ფორმულის შესახებ. ინდოელმა მათემატიკოსმა მაჰავირამ ბინომური კოეფიციენტების დაჯამების სხვა ფორმულა გამოიგონა — ${\displaystyle {n \choose r}={\frac {n!}{r!(n-r)!}}}$. ეს ფორმულა უფრო ახლოა თანამედროვე ვარიანტთან, რომელიც ალბათობის თერიასა და კომბინატორიკაში გამოიყენება.

სპარსმა მათემატიკოსმა ალ-კარაჯიმ დაწერა წიგნი, რომელიც პირველად აღწერს ამ სამკუთხედის მოცემის წესს, რაც შემდეგ სხვა სპარსმა მათემატიკოსმა, ომარ ხაიამმა გაიმეორა. ამის გამო ირანში ეს სამკუთხედი ხაიამის სამკუთხედის სახელითაა ცნობილი.

იტალიაში ამ სამკუთხედს „ტარტალიას სამუკუთხედს“ უწოდებენ, ჩინეთში კი „იანგ ჰუის სამკუთხედს“.

ბინომური განზოგადება

პასკალის სამკუთხედი გვეხმარება ჯამის $n$-ური ხარისხის მოცემაში

მაგალითად:

${\begin{array}{c}1\\1\quad 1\\1\quad 2\quad 1\\\end{array}}$

$(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}=\mathbf {1} x^{2}y^{0}+\mathbf {2} x^{1}y^{1}+\mathbf {1} x^{0}y^{2}$

მწკრივის ნომერია 2. მეორე მწკრივის სვეტებია (1, 2, 1)

ფორმულაშიც კოეფიციენტებად გვევლინებიან 1, 2 და 1.

ფორმულის განზოგადებული ვერსია: $(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{n-k}y^{k}=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}y+a_{2}x^{n-2}y^{2}+\ldots +a_{n-1}xy^{n-1}+a_{n}y^{n}$

კომბინატორიკა

პასკალის სამკუთხედს გამოყენება კომბინატორიკაშიც აქვს. განვიხილოთ მაგალითი, როდესაც გვინდა შევარჩიოთ $k$ ელემენტიანი სიმრავლე $n$ ელემენტიანი სიმრავლიდან. $\mathbf {C} _{k}^{n}$ გამოითვლება ფორმულით:

$\mathbf {C} (n,k)=\mathbf {C} _{k}^{n}={_{n}C_{k}}={n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}$

ეს უკანასკნელი იგივეა რაც პასკალის სამკუთხედში მე-$n$ მწკრივში და მე-$k$ სვეტში მყოფი ელემენტის გამოსათვლელი ფორმულა.