ლის ალგებრის წარმოდგენა

მათემატიკაში ლის ალგებრის წარმოდგენა აკავშირებს მოცემულ ლის ალგებრას ზოგად წრფივ ლის ალგებრასათან. უფრო დაწვრილებით, მოდი ${\mathfrak {g}}$ იყოს ლის ალგებრა და მოდი V იყოს ვექტორული სივრცე. გავიხსენოთ, რომ ${\mathfrak {gl}}(V)$ აღნიშნავს ლის ალგებრას, რომლის ელემენტებია V-დანV-ში ყველა წრფივი ასახვა, ხოლო ფრჩხილი მოიცემა ტოლობით: [A,B]=AB-BA. ვიტყვით, რომ მოცემული გვაქვს ${\mathfrak {g}}$ ლის ალგებრის წარმოდგენა V ვექტორულ სივრცეში, თუ მოცემულია ლის ალგებრების ჰომომორფიზმი $\phi \,:\,{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)$. ეს ცნება ექვივალენტურია ${\mathfrak {g}}$-მოდულის ცნებისა, რომელიც მოიცემა ორადწრფივი ასხავით ${\mathfrak {g}}\times V\to V$ რომლისთვისაც სრულდება ტოლობა:

$[x,y]\cdot v=x\cdot (y\cdot v)-y\cdot (x\cdot v)$

x და y არიან ${\mathfrak {g}}$-ს ელემენტები. კავშირი ორ ცნებას შორის მოიცემა ტოლობით $x\cdot v=(\phi (x))(v)$. ორივე ცნება ექვივალენტურია ${\mathfrak {g}}$ ლის ალგებრის უნივერსალური მომვლებ ალგებრაზე $U({\mathfrak {g}})$ მოდულის ცნებისა.

ლიტერატურა

• N. Bourbaki, Groupes et algèbres de Lie. Chapitre 1. Springer; 2006. ISBN-10: 3540353356.