კვანტური ჰარმონიული ოსცილატორი

კვანტური ჰარმონიული ოსცილატორი — კლასიკური ჰარმონიული ოსცილატორის ანალოგი კვანტურ ფიზიკაში. ფიზიკის ძალიან ბევრი ამოცანა დაიყვანება ჰარმონიული ოსცილატორის ამოცანაზე. ამიტომ ჰარმონიული ოსცილატორის მოდელი გამოიყენება ფიზიკის სხვადასხვა დარგებში.

ერთგანზომილებიანი ჰარმონიული ოსცილატორი

კვანტური ჰარმონიული ოსცილატორის ჰამილტონიანი არის:

${\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}{\hat {x}}^{2}}{2}}$

სადაც ${\hat {x}}$ არის $x$ კოორდინატის ოპერატორი, რომელიც კოორდინატულ წარმოდგენაში არის $x$. $p$ არის იმპულსის ოპერატორი და კოორდინატულ წარმოდგენაში არის:

${\hat {p}}=-i\hbar {\partial \over \partial x}$

კვანტურ მექანიკაში ნებისმიერი მსგავსი ამოცანის ამოსახსნელად უნდა ამოისხსნას შემდეგი განტოლება:

${\hat {H}}\left|\psi \right\rangle =E\left|\psi \right\rangle$

სადაც $E$ არის სისტემის ენერგია, ხოლო $\left|\psi \right\rangle$ არის ამ ენერგიის შესაბამისი საკუთარი მდგომარეობა.

აწევის და დაწევის ოპერატორები

ყველაზე მარტივი გზა ჰარმონიული ოსცილატორის ამოცანის ამოსახსნელად არის აწევის და დაწევის ოპერატორების შემოღება:

${\begin{aligned}{\hat {a}}&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left({\hat {x}}+{i \over m\omega }{\hat {p}}\right)\\{\hat {a}}^{\dagger }&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left({\hat {x}}-{i \over m\omega }{\hat {p}}\right)\end{aligned}}$

ამ ოპერატორების მეშვეობით გამოისახება რაოდენობის ოპერატორი N:

${\hat {N}}={\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}$

რომელიც აკმაყოფილებს შემდეგ კომუტაციურ თანაფარდობებს:

$[{\hat {N}}{\hat {a}}^{\dagger }]={\hat {a}}^{\dagger },\quad [{\hat {N}}{\hat {a}}]=-{\hat {a}}$

N ოპერატორის მეშვეობით ადვილად გამოისახება ჰამილტონიანი

${\hat {H}}=\left({\hat {N}}+{\frac {1}{2}}\right)\hbar \omega$

ამიტომ ჰამილტონიანის საკუთარი მნიშვნელობის პოვნა ნიშნავს N ოპერატორის საკუთარი მნიშვნელობების პოვნას. დავუშვათ n არის N ოპერატორის საკუთარი მნიშვნელობა

${\hat {N}}|n\rangle =n|n\rangle$

კომუტაციურ თანაფარდობებიდან მიიღება რომ

${\begin{aligned}{\hat {N}}{\hat {a}}^{\dagger }|n\rangle &=&(n+1){\hat {a}}^{\dagger }|n\rangle \\{\hat {N}}{\hat {a}}|n\rangle &=&(n-1){\hat {a}}|n\rangle \end{aligned}}$

ამრიგად N-ის საკუთარ ფუნქციაზე ${a}^{\dagger }$ ოპერატორით მოქნედების შედეგად ვიღებთ ისევ N-ის საკუთარ ფუნქციას რომლის საკუთარი მნიშვნელობა ერთით მეტია, ხოლო $a$ ოპერატორით ვიღებთ მდგომარეობას რომლის საკუთარი მნიშვნელობა ერთით ნაკლებია. ასე რომ დაწევის ოპერატორის მეშვეობით შეიძლება მივიღოთ ნებისმიერ უარყოფით რიცხვზე უფრო დაბალი მდგომარეობა, ანუ შეიძლება სისტემის ენერგია იყოს მინუს უსასრულობა, რაც აბსურდია. ეს თავიდან შეგვიძლია ავიცილოთ თუ დაწევის ოპერატორის $|n\rangle$-ზე რამდენიმეჯერ მოქმედების შედეგად მივიღებთ ნულს.

${\hat {a}}|0\rangle >=0$

ამ ნულოვანი მდგომარეობის, $|0\rangle$-ის მეშვეობით შეგვიძლია ავაგოთ N-ის ნებისმიერი საკუთარი მდგომარეობა.

$|n\rangle ={\frac {1}{\sqrt {n!}}}{\hat {a}}^{n}|0\rangle$

$1/{\sqrt {n!}}$ მამრავლი მიიღება $|n\rangle$-ის ნორმალიზების პირობიდან.

$\langle n|n\rangle =1$

ეს მდგომარეობა არის ასევე ჰამილტონიანის საკუთარი მდომარეობა და შესაბამისი საკუთარი მნიშვნელობა, ანუ ენერგია არის:

$E_{n}=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\hbar \omega ,\quad n=0,1,2,...$

ტალღური ფუნქციების საპვონელად ამონახსნი უნდა ჩაიწეროს კოორდინატულ წარმოდნენაში. ამ წარმოდგენაში აწევის და დაწევის ოპერატორები მიიღებენ შემდეგ სახეს:

${\begin{aligned}{\hat {a}}&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left(x+{\frac {\hbar }{m\omega }}{\frac {d}{dx}}\right)\\{\hat {a}}^{\dagger }&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left(x-{\frac {\hbar }{m\omega }}{\frac {d}{dx}}\right)\end{aligned}}$

ნულოვანი მდგომარეობისთვის პირობა გადაიწერება:

$\left(x+{\frac {\hbar }{m\omega }}{\frac {d}{dx}}\right)\psi _{0}(x)=0$

რომლის ამონახსნიც არის

$\psi _{0}(x)=\left({\frac {m\omega }{\hbar \pi }}\right)^{1/4}\exp \left(-{\frac {m\omega }{2\hbar }}x^{2}\right)$

ხოლო n მდგომარეობის შესაბამისი ტალღური ფუნქცია მიიღება ამ ფუნქციაზე აწევის ოპერატორის n-ჯერ მოქმედების შედეგად.

$\psi _{n}(x)={\frac {1}{\pi ^{1/4}{\sqrt {2^{n}n!}}}}\left({\frac {m\omega }{\hbar }}\right)^{(2n+1)/4}\left(x-{\frac {\hbar }{m\omega }}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\exp \left(-{\frac {m\omega }{2\hbar }}x^{2}\right)$

ნულოვანი ენერგია

ერთ-ერთი მნიშვნელოვანი შედეგი, რომელიც კვანტური ჰარმონიული ოსცილატორის ამოხსნიდან მიიღება, არის ნულოვანი ენერგიის არსებობა, ჰარმონიული ოსცილატორის ენერგია ვერასდროს იქნება $\hbar \omega /2$-ზე ნაკლები. ეს ფაქტი პირდაპირ კავშირშია ჰაიზენბერგის განუზღვრელობის თანაფარდობასთან. ძირითად მდგომარეობაში (n=0) ტალღური ფუნქციის სიმეტრიიდან გამომდინარე იმპულსისა და კოორდინატის საშუალო მნიშვნელობები ნულია. აქედან გამომდინარე ფესვი საშუალო კვადრატული გადახრიდან იქნება:

$\Delta p={\sqrt {\langle p^{2}\rangle }}\,,\quad \Delta x={\sqrt {\langle x^{2}\rangle }}$

ჰაიზენბერგის განუზღვრელობის თანახმად $\Delta p\Delta x\geq \hbar /2$. ამრიგად ჰარმონიული ოსცილატორის შემთხვევაში კოორდინატი და იმპულის საშუალო მნიშვნელობა ერთდროულად ვერ იქნება ნული. ენერგია კიდე იმპულსისა და კოორდინატის კვადრატებზეა დამოკიდებული და ვერ იქნება ნული თუ ორივე ნული არაა. ამიტომ ენერგია ყოველთვის ნულზე მეტი იქნება. უფრო დეტალურად თუ ჩავწერთ:

$\langle E\rangle ={\frac {(\Delta p)^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}(\Delta x)^{2}}{2}}$

ჰაიზენგერგის განუზღვრელობის თანაფარდობიდან მივიღებთ:

$\langle E\rangle \geq {\frac {(\Delta p)^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}\hbar ^{2}}{8(\Delta p)^{2}}}$

მარცხენა მხარეზე მყოფი გამოსახულების მინიმალური მნიშვნელობა არის $\hbar \omega /2$, რომელიც ზუსტად ემთხვევა ნულოვან ენერგიას. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ ნულოვანი ენერგიის არსებობა აუცილებელია განუზღვრელობის თანაფარდობის გამო.

ნულოვანი ენერგიის გათვალისწინება მნიშვნელოვანია კვანტურ ქიმიაში ატომებს შორის ბმის ენერგიის დათვლისას. როგორც წესი ნულვანი ენერგია ატომებს შორის 0.1 ევ-ის რიგისაა.

ლიტერატურა

• Albert Messiah, "Quantum Mechanics".