კრონეკერის სიმბოლო

მათემატიკაში კრონეკერის სიმბოლო, რომელსაც სახელი ეწოდა ლეოპოლდ კრონეკერის პატივსაცემად, არის ორი ცვლადის ფუნქცია, რომლის მნიშვნელობა ტოლია 1-ის, როდესაც ეს (როგორც წესი მთელი) ცვლადები ტოლია და 0-ის, როდესაც მათი მნიშვნელობები განსხვავებულია. მაგალითად:

$\delta _{1,2}=0$, მაგრამ

$\delta _{3,3}=1.$

ის ჩაიწერება როგორც δ_ij, და როგორც წესი განიხილება უფრო მეტად როგორც შემოკლებითი აღნიშვნა ვიდრე ფუნქცია.

$\delta _{ij}=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{if }}i=j\\0,&{\mbox{if }}i\neq j\end{matrix}}\right.$

თვისებები

კრონეკერის სიმბოლოს აქვს ე.წ. წანაცვლების თვისება, ანუ ნებისმიერი $j\in \mathbb {Z}$-სთვის:

$\sum _{i=-\infty }^{\infty }a_{i}\delta _{ij}=a_{j}.$

ეს თვისება ანალოგიურია დირაკის დელტა ფუნქციის შემდეგი თვისებისა.

$\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x-y)f(x)dx=f(y).$

განზოგადება

კრონეკერის სიმბოლო შეიძლება განზოგადდეს მრავალ განზომილებაზე:

$\delta _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}^{j_{1}j_{2}\dots j_{n}}=\prod _{k=1}^{n}\delta _{i_{k}j_{k}}.$

ეს ფუნქცია 1-ის ტოლია მხოლოდ მაშინ და მხოლოდ მაშინ როდესაც ყველა წყვილში ზედა ინდექსი ემთხვევა ქვედას და ნულის ტოლია ყველა სხვა შემთხვევაში.

ინტეგრალური წარმოდგენა

ნებისმიერი ნატურალური n-ისთვის, ნაშთების ანალიზის გამოყენებით კრონეკერის სიმბოლოს ინტეგრალური წარმოდგენა შეიძლება შემდეგნაირად ჩაიწეროს (კონტურული ინტეგრება იგულისხმება საათის ისრის მიმართულებით ნულის გარშემო):

$\delta _{x,n}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{|z|=1}z^{x-n-1}dz={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{i(x-n)\varphi }d\varphi$

იხილეთ აგრეთვე

• დირაკის დელტა ფუნქცია
• ლევი-ჩივიტას სიმბოლო $\varepsilon _{ijk}$