ლევი-ჩივიტას სიმბოლოს მნიშვნელობები მარჯვენა ორიენტაციის კოორდინატთა სისტემაში. სამგანზომილებიან სივრცეში ლევი-ჩივიტას სიმბოლო შემდეგნაირად განისაზღვრება:
ε
i
j
k
=
{
+
1
if
(
i
,
j
,
k
)
is
(
1
,
2
,
3
)
,
(
3
,
1
,
2
)
or
(
2
,
3
,
1
)
,
−
1
if
(
i
,
j
,
k
)
is
(
1
,
3
,
2
)
,
(
3
,
2
,
1
)
or
(
2
,
1
,
3
)
,
0
if
i
=
j
or
j
=
k
or
k
=
i
{\displaystyle \varepsilon _{ijk}={\begin{cases}+1&{\mbox{if }}(i,j,k){\mbox{ is }}(1,2,3),(3,1,2){\mbox{ or }}(2,3,1),\\-1&{\mbox{if }}(i,j,k){\mbox{ is }}(1,3,2),(3,2,1){\mbox{ or }}(2,1,3),\\0&{\mbox{if }}i=j{\mbox{ or }}j=k{\mbox{ or }}k=i\end{cases}}}
ანუ
ε
i
j
k
{\displaystyle \varepsilon _{ijk}}
i , j , k ) წარმოადგენენ (1,2,3)-ის ლუწ გადანაცვლებას (ანუ ამ კომბინაციიდან (1,2,3)-ის მისაღებად ციფრების გადანაცვლებების ლუწი რაოდება არის საჭირო), და არის −1 თუ ამისთვის გადანაცვლებების კენტი რაოდენობაა საჭირო.
სამგანზომილებიან სივრცეში ლევი-ჩივიტას სიმბოლო მოიცემა შემდეგი ფორმულით:
ε
i
j
k
=
(
j
−
i
)
(
k
−
i
)
(
k
−
j
)
2
=
(
i
−
j
)
(
j
−
k
)
(
k
−
i
)
2
.
{\displaystyle \varepsilon _{ijk}={\frac {\left(j-i\right)\left(k-i\right)\left(k-j\right)}{2}}={\frac {\left(i-j\right)\left(j-k\right)\left(k-i\right)}{2}}.}
ანალოგიურ ფორმულას ოთხგანზომილებიანი სივრცისთვის აქვს შემდეგი სახე:
ε
i
j
k
l
=
(
j
−
i
)
(
k
−
i
)
(
l
−
i
)
(
k
−
j
)
(
l
−
j
)
(
l
−
k
)
12
.
{\displaystyle \varepsilon _{ijkl}={\frac {\left(j-i\right)\left(k-i\right)\left(l-i\right)\left(k-j\right)\left(l-j\right)\left(l-k\right)}{12}}.}
ლევი-ჩივიტას სიმბოლოს ვიზუალიზაცია 3×3×3 მატრიცის სახით. მარცხენა ორიენტაციის კოორდინატთა სისტემაში ლევი-ჩივიტას სიმბოლოს ილუსტრაცია. ცარიელი კუბი აღნიშნავს 0-ს, წითელი +1-ს, ხოლო ლურჯი -1-ს. წრფივ ალგებრაში 3×3 A მატრიცის დეტერმინანტი მოიცემა შემდეგი ფორმულით:
det
A
=
∑
i
=
1
3
∑
j
=
1
3
∑
k
=
1
3
ε
i
j
k
a
1
i
a
2
j
a
3
k
{\displaystyle \det A=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{1i}a_{2j}a_{3k}}
ხოლო ორი ვექტორის ვექტორული ნამრავლი ჩაიწერება შემდეგნაირად
a
×
b
=
|
e
1
e
2
e
3
a
1
a
2
a
3
b
1
b
2
b
3
|
=
∑
i
=
1
3
∑
j
=
1
3
∑
k
=
1
3
ε
i
j
k
e
i
a
j
b
k
{\displaystyle \mathbf {a\times b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {e_{1}} &\mathbf {e_{2}} &\mathbf {e_{3}} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{vmatrix}}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\mathbf {e_{i}} a_{j}b_{k}}
ან უფრო მარტივად:
a
×
b
=
c
,
c
i
=
∑
j
=
1
3
∑
k
=
1
3
ε
i
j
k
a
j
b
k
.
{\displaystyle \mathbf {a\times b} =\mathbf {c} ,\ c_{i}=\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}.}
კავშირი კრონეკერის სიმბოლოსთან
რედაქტირება
ლევი-ჩივიტას სიმბოლო დაკავშირებულია კრონეკერის სიმბოლოსთან . სამგანზომილებიან სივრცეში ეს კავშირი შემდეგი ფორმულებით მოიცემა:
ε
i
j
k
ε
l
m
n
=
det
[
δ
i
l
δ
i
m
δ
i
n
δ
j
l
δ
j
m
δ
j
n
δ
k
l
δ
k
m
δ
k
n
]
,
{\displaystyle \varepsilon _{ijk}\varepsilon _{lmn}=\det {\begin{bmatrix}\delta _{il}&\delta _{im}&\delta _{in}\\\delta _{jl}&\delta _{jm}&\delta _{jn}\\\delta _{kl}&\delta _{km}&\delta _{kn}\\\end{bmatrix}},}
=
δ
i
l
(
δ
j
m
δ
k
n
−
δ
j
n
δ
k
m
)
−
δ
i
m
(
δ
j
l
δ
k
n
−
δ
j
n
δ
k
l
)
+
δ
i
n
(
δ
j
l
δ
k
m
−
δ
j
m
δ
k
l
)
{\displaystyle =\delta _{il}\left(\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}\right)-\delta _{im}\left(\delta _{jl}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{kl}\right)+\delta _{in}\left(\delta _{jl}\delta _{km}-\delta _{jm}\delta _{kl}\right)\,}
∑
i
=
1
3
ε
i
j
k
ε
i
m
n
=
δ
j
m
δ
k
n
−
δ
j
n
δ
k
m
{\displaystyle \sum _{i=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{imn}=\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}}
და
∑
i
=
1
3
∑
j
=
1
3
ε
i
j
k
ε
i
j
n
=
2
δ
k
n
{\displaystyle \sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{ijn}=2\delta _{kn}}
1. ორ განზომილებაში, როდესაც
i
,
j
,
m
,
n
{\displaystyle i,j,m,n}
{
1
,
2
}
{\displaystyle \{1,2\}}
ε
i
j
ε
m
n
=
δ
i
m
δ
j
n
−
δ
i
n
δ
j
m
(
1
)
ε
i
j
ε
i
n
=
δ
j
n
(
2
)
ε
i
j
ε
i
j
=
2
(
3
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&\varepsilon _{ij}\varepsilon ^{mn}=\delta _{i}^{m}\delta _{j}^{n}-\delta _{i}^{n}\delta _{j}^{m}\quad &&(1)\\&\varepsilon _{ij}\varepsilon ^{in}=\delta _{j}^{n}&&(2)\\&\varepsilon _{ij}\varepsilon ^{ij}=2&&(3)\end{aligned}}}
2. სამ განზომილებაში, როდესაც
i
,
j
,
k
,
m
,
n
{\displaystyle i,j,k,m,n}
{
1
,
2
,
3
}
{\displaystyle \{1,2,3\}}
ε
j
m
n
ε
i
m
n
=
2
δ
j
i
(
4
)
ε
i
j
k
ε
i
j
k
=
6
(
5
)
ε
i
j
k
ε
i
m
n
=
δ
j
m
δ
k
n
−
δ
j
n
δ
k
m
(
6
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&\varepsilon _{jmn}\varepsilon ^{imn}=2\delta _{j}^{i}&&(4)\\&\varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{ijk}=6&&(5)\\&\varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{imn}=\delta _{j}^{m}\delta _{k}^{n}-\delta _{j}^{n}\delta _{k}^{m}&&(6)\end{aligned}}}
3. n განზომილებაში, როდესაც
i
1
,
.
.
.
,
i
n
,
j
1
,
.
.
.
,
j
n
{\displaystyle i_{1},...,i_{n},j_{1},...,j_{n}}
{
1
,
.
.
.
,
n
}
,
{\displaystyle \{1,...,n\},}
ε
i
1
…
i
n
ε
j
1
…
j
n
=
n
!
δ
[
i
1
j
1
…
δ
i
n
]
j
n
(
7
)
ε
i
1
…
i
k
i
k
+
1
…
i
n
ε
i
1
…
i
k
j
k
+
1
…
j
n
=
k
!
(
n
−
k
)
!
δ
[
i
k
+
1
j
k
+
1
…
δ
i
n
]
j
n
(
8
)
ε
i
1
…
i
n
ε
i
1
…
i
n
=
n
!
(
9
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}\varepsilon ^{j_{1}\dots j_{n}}=n!\delta _{[i_{1}}^{j_{1}}\dots \delta _{i_{n}]}^{j_{n}}&&(7)\\&\varepsilon _{i_{1}\dots i_{k}~i_{k+1}\dots i_{n}}\varepsilon ^{i_{1}\dots i_{k}~j_{k+1}\dots j_{n}}=k!(n-k)!~\delta _{[i_{k+1}}^{j_{k+1}}\dots \delta _{i_{n}]}^{j_{n}}&&(8)\\&\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}\varepsilon ^{i_{1}\dots i_{n}}=n!&&(9)\end{aligned}}}
1.
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
A
=
(
a
i
j
)
{\displaystyle A=(a_{ij})}
დეტერმინანტი გამოისახება შემდეგი ფორმულით
det
A
=
ε
i
1
⋯
i
n
a
1
i
1
⋯
a
n
i
n
,
{\displaystyle \det A=\varepsilon _{i_{1}\cdots i_{n}}a_{1i_{1}}\cdots a_{ni_{n}},}
სადაც იგულისხმება, რომ ყველა
i
l
{\displaystyle i_{l}}
ექვივალენტურად, ეს განტოლება შეიძლება შემდეგნაირად ჩაიწეროს:
det
A
=
1
n
!
ε
i
1
⋯
i
n
ε
j
1
⋯
j
n
a
i
1
j
1
⋯
a
i
n
j
n
,
{\displaystyle \det A={\frac {1}{n!}}\varepsilon _{i_{1}\cdots i_{n}}\varepsilon _{j_{1}\cdots j_{n}}a_{i_{1}j_{1}}\cdots a_{i_{n}j_{n}},}
სადაც ყველა
i
l
{\displaystyle i_{l}}
j
l
{\displaystyle j_{l}}
1
,
…
,
n
{\displaystyle 1,\ldots ,n}
2. თუ
A
=
(
A
1
,
A
2
,
A
3
)
{\displaystyle A=(A^{1},A^{2},A^{3})}
B
=
(
B
1
,
B
2
,
B
3
)
{\displaystyle B=(B^{1},B^{2},B^{3})}
ვექტორული ნამრავლის
i
{\displaystyle i}
(
A
×
B
)
i
=
ε
i
j
k
A
j
B
k
.
{\displaystyle (A\times B)^{i}=\varepsilon ^{ijk}A^{j}B^{k}.}
Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, Gravitation , (1970) W.H. Freeman, New York; ISBN 0-7167-0344-0 . 
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}\varepsilon ^{j_{1}\dots j_{n}}=n!\delta _{[i_{1}}^{j_{1}}\dots \delta _{i_{n}]}^{j_{n}}&&(7)\\&\varepsilon _{i_{1}\dots i_{k}~i_{k+1}\dots i_{n}}\varepsilon ^{i_{1}\dots i_{k}~j_{k+1}\dots j_{n}}=k!(n-k)!~\delta _{[i_{k+1}}^{j_{k+1}}\dots \delta _{i_{n}]}^{j_{n}}&&(8)\\&\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}\varepsilon ^{i_{1}\dots i_{n}}=n!&&(9)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f76698cb2e3f048906a35213e717c6d8e2804c2)
