ჰარმონიული ოსცილატორი

ჰარმონიული ოსცილატორი — სისტემა, რომელზეც წონასწორობიდან გადახრისას აღიძვრება გადახრის პროპორციული და საწინააღმდეგოდ მიმართული ძალა. თუ სისტემის წონასწორობიდან გადახრაა $x$, მაშინ მასზე მოქმედი ძალა $F$ არის:

ზამბარაზე მიბმული სხეულის ჰარმონიული ოსცილაცია.

$F=-kx$

ჰარმონიული ოსცილატორის მაგალითები გვხვდება ფიზიკის თითქმის ნებისმიერ დარგში. კლასიკურ მექანიკაში ეს არის ზამბარაზე მიბმული სხეული ან მექანიკური ქანქარა. გვხვდება ასევე ელექტრულ წრედებში, სტატისტიკურ ფიზიკაში, მყარი სხეულების ფიზიკაში, ველის კვანტურ თეორიაში.

მარტივი ჰარმონიული ოსცილატორი

ოსცილატორს მარტივი ჰარმონიული ოსცილატორი ეწოდება როდესაც მასზე არ მოქმედებს არავითარი გარეშე ძალა. შესაბამისად ნიუტონის მეორე კანონი სისტემისთვის ჩაიწერება როგორც:

$F=m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-kx$

ამ დიფერენციალური განტოლების ამონახსნი ჩაიწერება სინუსის ან კოსინუსის მეშვეობით:

$x(t)=A\sin(\omega _{0}t+\phi _{0})$

სადაც $\omega$, ციკლური სიხშირე, არის:

$\omega _{0}={\sqrt {\frac {k}{m}}}$

ციკლური სიხშირე უკავშირდება რხევის პერიოდს შემდეგნაირად:

$\omega _{0}={\frac {2\pi }{T}}$

$T$ რხევის პერიოდი არის მინიმალური დრო რომელიც სისტემას სჭირდება საწყის მდგომარეობაში დასაბრუნებლად. $T/2$ დროის მერე სისტემა დაუბრუნდება საწყის მდებარეობას, მაგრამ ექნება საპირისპიოდ მიმართული სიჩქარე, სრული პერიოდის მერე დაუბრუნდება საწყის მდებარეობას საწყისი სიჩქარით. $A$ არის რხევის ამპლიტუდა. ეს არის სისტემის მაქსიმალური გადახრა წონასწორობიდან. $\phi _{0}$ არის საწყისი ფაზა, გარკვეული მუდმივი რიცხვი $(0,2\pi )$ შუალედში რომელიც განისაზღვრება სისტემის საწყისი პირობებიდან.

ოსცილატორის ენერგია

ძალის განტოლებიდან მიიღება რომ ოსცილატორის პოტენციური ენერგია არის

$U(x)={\frac {1}{2}}kx^{2}={\frac {1}{2}}m\omega _{0}^{2}x^{2}$

როდესაც ოსცილატორი მაქსიმალურად არის გადახრილი წონასწორობის მდგომარეობიდან, მისი კინეტიკური ენერგია ნულია. ამიტომ ოსცილატორის სრული ენერგია გამოისახება ამპლიტუდით:

$E={\frac {1}{2}}m\omega _{0}^{2}A^{2}$

რხევების დროს ენერგიის ამპლიტუდის კვადრატზე დამოკიდებულება საკმაოდ ზოგადი თანაფარდობაა. ელექტრომაგნიტური და ბგერითი ტალღებისთვისაც ეს დამოკიდებულება სწორია.

მილევადი ჰარმონიული ოსცილატორი

თუ ოსცილატორზე მოქმედებს ხახუნის ძალა, დროთა განმავლობაში მისი რხევა მიილევა. თუ წინაღობის ძალა სიჩქარის პროპორციულია,როგორც ეს არის ჰაერის ან სითხის წინაღობის ძალის შემთხვევაში, ანუ $F_{\rm {fr}}=-cv$ მაშინ ნიუტონის მეორე კანონიდან მივიღებთ:

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+2{\gamma }{\frac {dx}{dt}}+\omega _{0}^{2}x^{2}=0$

სადაც $\gamma ={\frac {c}{2m}}$. ამ დიფერენციალური განტოლების ამონახსნი არის:

$x(t)=Ae^{-\gamma t}\sin(\omega _{1}t+\phi _{0})$

$\omega _{1}={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}}}$

მცირე გამასთვის ეს გვაძლევს სინუსოიდას რომლის ამპლიტუდაც დროთა განმავლობაში ექსპონენციალურად მცირდება. დიდი გამასთვის სხეული გაჩერდება სანამ მოასწრებს რხევის სრულ ციკლს.

გარეშე ძალის მოქმედება

დროზე დამოკიდებული $F(t)$ გარეშე ძალის მოქმედების შედეგად ნიუტომის მეორე კანონი მიიღებს შემდეგ სახეს:

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+2{\gamma }{\frac {dx}{dt}}+\omega _{0}^{2}x^{2}={\frac {F(t)}{m}}$

ამ დიფერენციალური განტოლების ამოსახსნელად ჯერ მარცხენა მხარე უნდა გაუტოლდეს ნულს და ამოიხსნას, რაც წარმოადგენს გარეშე ძალის მოქმედების გარეშე ოსცილატორის ამოცანას. ამის მერე საპოვნელია სრული განტოლების კერძო ამონახსნი. სრული ამონახსნი იქნება ამ ორი ამონახსნის ჯამი.ეს ამოცანა მარტივად იხსნება როცა გარეშე ძალა დროზე არის დამოკიდებული როგორც სინუსი ან კოსინუსი.

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+2{\gamma }{\frac {dx}{dt}}+\omega _{0}^{2}x^{2}={\frac {F_{0}}{m}}\sin(\omega t)$

სრული ამონახსნი იქნება:

$x(t)=Ae^{-\gamma t}\sin(\omega _{1}t+\phi _{0})+B(\omega )\sin(\omega t-\phi _{1})$

$B(\omega )={\frac {F_{0}/m}{\sqrt {(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}+4\gamma ^{2}\omega ^{2}}}}$

$x(t)$-ს გამოსახულებაში პირველი წევრი დროთა განმვალობაში მინელდება, ხოლო მეორე წევრი განაგრძობს ოსცილირებას მუდმივი ამპლიტუდით. $B(\omega )$-ს გამოსახულებიდან ჩანს რომ რხევის ამპლიტუდა დამოკიდებულია რხევის სიხშირეზე და აღწევს მაქსიმუმს როდესაც $\omega ={\sqrt {\omega _{0}^{2}-2\gamma ^{2}}}$. ამ სიხშირეზე რხევის ამპლიტუდა მკვეთრად იზრდება. ამ მოვლენას რეზონანსი ეწოდება. ამ ეფექტზე არის დამყარებული მიკროტალღოვანი ღუმელის მოქმედების პრინციპი. საკვებში ატომები შეგვიძლია ჩავთვალოთ პატარა ოსცილატორებად. გარეშე ძალას წარმოადგენს ღუმელის მიერ გამოცემული ელექტრომაგნიტური ტალღები. ტალღების სიხშირე რეზონანსში მოდიან ატომების რხევის სიხშირესთან, რის შედეგადაც ატომების რხევის ამპლიტუდა და შესაბამისად საკვების ტემპერატურა მკვეთრად მატულობს.

გრინის ფუნქციის მეთოდი

ზოგად შემთხვევაში როდესაც გარეშე ძალა არაა ჰარმონიული ფუნქცია, ამოხსნის ერთ-ერთი გზაა გრინის ფუნქციის $G(t,t')$ გამოყენება. როდესაც $t>t'$:

$\left({\frac {d^{2}}{dt^{2}}}+2\gamma {\frac {d}{dt}}+\omega _{0}^{2}\right)G(t-t')=\delta (t-t')$

სადაც მარჯვენა მხარეს არის დელტა ფუნქცია. ხოლო როცა $t<t'$ გრინის ფუნქცია ნულია. ამ დიფერენციალური განტოლების ამოხსნა შეიძლება ფურიეს გარდაქმნის მეშვეობით.

$G(t-t')={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }d\omega G(\omega )e^{-i\omega (t-t')}$

$\delta (t-t')={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }d\omega e^{-i\omega (t-t')}$

ზედა სამი განტოლების მეშვეობით მიღება:

$G(\omega )={\frac {1}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}-2i\gamma \omega }}$

ამოცანის სრული ამონახსნი იქნება:

$x(t)=A\sin(\omega _{1}t+\phi _{0})+\int _{-\infty }^{t}dt'G(t,t')F(t')/m$

წყარო

• http://paws.kettering.edu/~drussell/Demos/SHO/mass.html დაარქივებული 2010-12-06 საიტზე Wayback Machine.
• http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/oscda.html
• F. W. Byron and R. W. Muller, Mathematics of Classical and Quantum Physics.