მარტივი რიცხვი

მარტივი რიცხვი ეწოდება ისეთ ნატურალურ რიცხვს, რომელსაც მხოლოდ 2 განსხვავებული ნატურალური გამყოფი აქვს: 1 და თავისი თავი. პირველი 25 მარტივი რიცხვია

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37 , 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 და 97.

ევკლიდემ ძვ.წ. დაახლ. 300 წ. აჩვენა, რომ მარტივი რიცხვების რაოდენობა უსასრულოა, თუმცა მარტივების სიმკვრივე ნატურალურ რიცხვებში 0-ის ტოლია. განსაზღვრების თანახმად, 1 არ არის მარტივი რიცხვი. არითმეტიკის ფუნდამენტური თეორემა წარმოგვიდგენს მარტივი რიცხვების მნიშვნელობას რიცხვთა თეორიაში: ნებისმიერი ერთზე მეტი ნატურალური რიცხვი შეიძლება დაიშალოს მარტივი რიცხვების უნიკალურ ნამრავლად.

რიცხვი n-ის მარტივობის შესამოწმებელი უმარტივესი ალგორითმი შემდეგია: შემოწმდეს იყოფა თუ არა რიცხვი n ნებისმიერ მთელ რიცხვზე 2-იდან ${\sqrt {n}}$-ის ჩათვლით. თუ n იყოფა ამ შუალედში მოთავსებულ რომელიმე მთელ რიცხვზე, მაშინ ის არაა მარტივი. ასეთ რიცხვს შედგენილი რიცხვი ეწოდება. ხოლო თუ n ამ შუალედში მოთავსებულ არც ერთ მთელ რიცხვზე არ იყოფა, მაშინ ის მარტივია. ამ ალგორითმს ${\sqrt {n}}$ რაოდენობის გაყოფის ოპერაციის ჩატარება ესაჭიროება, რაც, ცხადია, დიდი რიცხვებისთვის მეტად მოუხერხებელია. დღეს რიცხვის მარტივობის შესამოწმებელი უფრო დახვეწილი ალგორითმები არსებობს.

დღესდღეობით არ არსებობს ფორმულა, რომლითაც მხოლოდ და მხოლოდ მარტივი რიცხვების მიღება შეიძლება. თუმცა, შესაძლებელია მარტივი რიცხვების განაწილებაზე — მათ სტატისტიკაზე — საუბარი. მაგალითად, მარტივი რიცხვების თეორემა გვეუბნება, რომ შემთხვევითად არჩეული რიცხვი n-ის მარტივობის ალბათობა რიცხვი n-ის ციფრების რაოდენობის ან მისი ლოგარითმის უკუპროპორციულია. ეს დებულება მე-19 საუკუნის ბოლოს დაამტკიცეს. თუ დღეისთვის დაუმტკიცებელი რიმანის ჰიპოთეზა სწორია, მაშინ შესაძლებელია მარტივი რიცხვების განაწილების კიდევ უფრო დახვეწილი მათემატიკური მოდელის შემუშავება.

მიუხედავად მარტივი რიცხვების ფართომასშტაბიანი შესწავლისა, მათემატიკაში დღემდე არსებობს მათთან დაკავშირებული გადაუჭრელი ამოცანები. მაგალითად, გოლდბახის პრობლემა ამბობს, რომ ნებისმიერი ორზე მეტი ლუწი ნატურალური რიცხვი ორი მარტივი რიცხვის ჯამია. ტყუპი მარტივი რიცხვების პრობლემა კი გვეუბნება, რომ ტყუპი მარტივების (მარტივი რიცხვები, რომელთა სხვაობა ორის ტოლია) რაოდენობა უსასრულოა. ამ ამოცანების პირობები მარტივად ჟღერს, თუმცა მათი დამტკიცება საუკუნეზე მეტია ვერ ხერხდება.

მარტივი რიცხვები ფართოდ გამოიყენება ინფორმატიკასა და კრიპტოგრაფიაში (რახან დიდი რიცხვების მარტივ მამრავლებად დაშლა რთული პროცედურაა). დიდი მარტივი რიცხვების ძიებითაა მოტივირებული განსაკუთრებული მარტივი რიცხვების შესწავლა: მაგალითად, მერსენის მარტივი რიცხვები, რომელთა მარტივობა შედარებით ადვილი შესამოწმებელია. 2010 წლის მონაცემებით, ჩვენთვის ცნობილი უდიდესი მარტივი რიცხვის ათობით ჩანაწერი დაახლოებით 13 მილიონი ციფრისგან შედგება.

მარტივი რიცხვების უსასრულო რაოდენობის დამტკიცება

დავუშვათ, მარტივი რიცხვების რაოდენობა სასრულია. მაშინ ჩამოვწეროთ ყველა მარტივი რიცხვი: p₁, p₂, …, p_n. დავუშვათ m=p₁p₂…p_n+1. m არ იყოფა p₁-ზე, რადგან ნაშთი ერთია. m ასევე არ იყოფა p₂-ზე, p₃-ზე, …, ან p_n-ზე. 1-ზე მეტი ყოველი ნატურალური რიცხვი მარტივია ან მარტივი რიცხვების ნამრავლი. m, ცხადია, 1-ს აღემატება. დავუშვათ, m მარტივია. მაგრამ m არ არის ჩვენს მიერ ზემოთ მოცემულ ყველა მარტივი რიცხვის ჩამონათვალში, რაც შეუძლებელია. ახლა დავუშვათ m მარტივი რიცხვების ნამრავლია. დავუშვათ, q არის ერთ-ერთი მარტივი რიცხვი ამ ნამრავლში. მაგრამ ჩვენ უკვე ვაჩვენეთ, რომ m არ იყოფა ჩვენ მიერ ჩამოთვლილი მარტივი რიცხვების სიიდან p₁, p₂, …, p_n არც ერთ მარტივზე. მაშასადამე მივიღეთ წინააღმდეგობა. ე.ი., ჩვენი დაშვება, რომ მარტივი რიცხვების რაოდენობა სასრულია, მცდარია. მაშასადამე, მარტივი რიცხვების რაოდენობა უსასრულოა.