სამკუთხედი: განსხვავება გადახედვებს შორის

ბოტის დამატება: war:Triangulo; cosmetic changes
(ბოტის დამატება: war:Triangulo; cosmetic changes)
[[სურათიფაილი:Triangle.png|thumb|240px|სამკუთხედი.]]
{{redirect|სამკუთხედი}}
 
'''სამკუთხედი''' — უმარტივესი [[პოლიგონი|მრავალკუთხა]] [[გეომეტრიული ფიგურა]] (მრავალკუთხედი) სამი გვერდითა და სამი კუთხით; [[სიბრტყე|სიბრტყის]] ნაწილი, რომელიც ერთ [[წრფე|წრფეზე]] არმდებარე სამი [[წერტილი]]თა და მათი შემაერთებელი სამი [[მონაკვეთი|მონაკვეთით]] შემოიფარგლება. სამკუთხედი შეიძლება იყოს მრავალი სახის, მაგრამ ყოველ მათგანს გააჩნია ექვსი ძირითადი ელემენტი: წვეროებით და გვერდებით შედგენილი სამი [[შიგა კუთხე]] და სამი [[გვერდი]]. ყოველი სამკუთხედი [[ამოზნექილი მრავალკუთხედი]]ა.
 
== სამკუთხედის ტიპები ==
სამკუთხედების კლასიფიკაცია ხდება მათი გვერდების სიგრძეთა შედარებით:
*[[ტოლგვერდა სამკუთხედი|ტოლგვერდა სამკუთხედში]] ყველა გვერდს ტოლი სიგრძე აქვს. ტოლგვერდა სამკუთხედი ასევე ტოლკუთხაა, ანუ მისი ყველა შიგა კუთხე ერთმანეთის ტოლია და 60°-ია. ასეთ სამკუთხედს წესიერი სამკუთხედიც ჰქვია.
 
<table align="center"><tr align="center">
<td>[[Imageფაილი:Triangle.Equilateral.svg|ტოლგვერდა სამკუთხედი]]</td>
<td>[[Imageფაილი:Triangle.Isosceles.svg|ტოლფერდა სამკუთხედი]]</td>
<td>[[Imageფაილი:Triangle.Scalene.svg|არაწესიერი სამკუთხედი]]</td>
</tr>
<tr align="center">
<table align="center">
<tr align="center">
<td>[[Imageფაილი:Triangle.Right.svg|მართკუთხა სამკუთხედი]]</td>
<td>[[Imageფაილი:Triangle.Obtuse.svg|ბლაგვკუთხა სამკუთხედი]]</td>
<td>[[Imageფაილი:Triangle.Acute.svg|მახვილკუთხა სამკუთხედი]]</td>
</tr>
<tr align="center">
</table>
 
== ძირითადი ნიშნები ==
სამკუთხედის ნებისმიერ გარე კუთხე (შიგა კუთხის მოსაზღვრე კუთხე) მისი ორი არამოსაზღვრე შიგა კუთხის [[ჯამი (მათემატიკა)|ჯამის]] ტოლია.
ნებისმიერი სამკუთხედისთვის, მისი გვერდები და კუთხეები აუცილებლად უნდა აკმაყოფილებდეს შემდეგ პირობებს:
* '''II ნიშანი''': თუ ერთი მართკუთხა სამკუთხედის კათეტი და მისი მოპირდაპირე კუთხე, შესაბამისად, ტოლია მეორე მართკუთხა სამკუთხედის კათეტის და მისი მოპირდაპირე კუთხის, მაშინ ეს სამკუთხედები ტოლია.
* '''III ნიშანი''': თუ ერთი მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზა და კათეტი, შესაბამისად, ტოლია მეორე მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზის და კათეტის, მაშინ ეს სამკუთხედები ტოლია.
[[სურათიფაილი:Msgavsi samkutkhedebi.png|thumb|400px|მსგავსი სამკუთხედები.]]თუ მოცემული ორი ABC და A<sub>1</sub>B<sub>1</sub>C<sub>1</sub> სამკუთხედისთვის სრულდება: ∠A=∠A<sub>1</sub>, ∠B=∠B<sub>1</sub> და ∠C=∠C<sub>1</sub>, მაშინ მათ ეწოდებათ მსგავსი სამკუთხედები და ვწერთ: ΔABC~ΔA<sub>1</sub>B<sub>1</sub>C<sub>1</sub>. უნდა გავითვალისწინოთ, რომ ჩანაწერში წვეროების მიმდევრობაში დგას ტოლი კუთხეების შესაბამისი წვეროები. თუ ΔABC~ΔA<sub>1</sub>B<sub>1</sub>C<sub>1</sub>, A და A<sub>1</sub>, B და B<sub>1</sub>, C და C<sub>1</sub> წვეროებს შესაბამისი ეწოდებათ. შესაბამისი წვეროებისგან შედგენილ გვერდებსაც შესაბამისი გვერდები ეწოდებათ.
მსგავს სამკუთხედებში შესაბამისი გვერდების შეფარდება მუდმივი სიდიდეა, რომელსაც მსგავსების ან პროპორციულობის კოეფიციენტი ეწოდება. მაგ., თუ ΔABC~ΔMNK, მაშინ არსებობს ''k''≠0 მსგავსების კოეფიციენტი, რომლისთვისაც <math> {AB \over MN}={BC \over NK}={AC \over MK}=k </math>, ანუ AB=''k''MN, BC=''k''NK, AC=''k''MK. ასე რომ, სამკუთხედების ტოლობა სამკუთხედების მსგავსების კერძო შემთხვევაა მსგავსების კოეფიციენტით 1.
სამკუთხედების მსგავსების დასადგენად გამოიყენება სამკუთხედების მსგავსების ნიშნები:
* '''I ნიშანი''': მართკუთხა სამკუთხედები მსგავსია, თუ მათ თითო მახვილი კუთხე ტოლი აქვთ.
* '''II ნიშანი''': მართკუთხა სამკუთხედები მსგავსია, თუ ერთი მათგანის კათეტები მეორეს კათეტების პროპორციულია.
[[სურათიფაილი:Samkutkh_paral_msgavseba.png|thumb|240px|სამკუთხედის ერთ-ერთი გვერდის პარალელური წრფით დანარჩენი ორი გვერდის გადაკვეთისას მოცემული სამკუთხედის მსგავსი სამკუთხედი „ჩამოიჭრება“.]]სამკუთხედების მსგავსებასთანაა დაკავშირებული მისი ერთი თვისება: ნებისმიერ სამკუთხედში რომელიმე გვერდის პარალელური და დანარჩენი ორი გვერდის გადამკვეთი წრფით მიღებული სამკუთხედი მოცემული სამკუთხედის მსგავსია.
 
მსგავსი სამკუთხედების [[პერიმეტრი|პერიმეტრების]] (ისევე, როგორც მედიანების, ბისექტრისების და სიმაღლეების) შეფარდება მსგავსების კოეფიციენტის ტოლია, [[ფართობი|ფართობების]] შეფარდება კი - მსგავსების კოეფიციენტის კვადრატის.<br />მართკუთხა სამკუთხედების უმნიშვნელოვანესი თვისებაა, რომ ჰიპოტენუზის კვადრატი კათეტების კვადრატების ჯამის ტოლია. ეს დებულება [[პითაგორას თეორემა|პითაგორას თეორემის]] სახელითაა ცნობილი. საზოგადოდ:
* თუ სამკუთხედის უდიდესი გვერდის კვადრატი დანარჩენი ორი გვერდის კვადრატების ჯამზე ნაკლებია, ეს სამკუთხედი მახვილკუთხაა.
 
== სამკუთხედის პერიმეტრი, მასთან დაკავშირებული მონაკვეთები, წერტილები და წრეწირები ==
=== პერიმეტრი ===
სამკუთხედის პერიმეტრი ეწოდება მისი გვერდების სიგრძეთა ჯამს. ABC სამკუთხედისთვის ''P''-თი აღნიშნავენ: ''P''=AB+BC+AC. საჭიროებისამებრ, ''p''-თი აღნიშნავენ ნახევარპეტრიმეტრს:
:<math> p={P \over 2}={AB+BC+AC \over 2} </math>
აღსანიშნავია, რომ მსგავსი სამკუთხედების პეტრიმეტრების შეფარდება მსგავსების კოეფიციენტის ტოლია - მსგავსი სამკუთხედების პერიმეტრები ისე შეეფარდება, როგორც შესაბამისი გვერდები.
 
=== მედიანა ===
[[სურათიფაილი:Triangle.Centroid.svg|frame|left|სამკუთხედის სამივე მედიანა ერთ წერტილში იკვეთება.]]
მედიანა ეწოდება მონაკვეთს, რომელიც სამკუთხედის ნებისმიერ წვეროს აერთებს მისი მოპირდაპირე გვერდის შუაწერტილთან. სამკუთხედის სამივე მედიანა ერთ წერტილში იკვეთება და ეს წერტილი თითოეულ მედიანას ყოფს [[პროპორცია|პროპორციით]] 2:1 წვეროს მხრიდან. მედიანით სამკუთხედი ორ ტოლდიდ (ტოლი ფართობის მქონე) სამკუთხედად იყოფა. მართკუთხა სამკუთხედში მართი კუთხის წვეროდან გავლებული მედიანა ჰიპოტენუზის ნახევარია, ხოლო ჰიპოტენუზისადმი გავლებული მედიანა ამ სამკუთხედზე შემოხაზული [[წრეწირი]]ს [[რადიუსი]]ს ტოლია .
 
=== ბისექტრისა ===
[[სურათიფაილი:Triangle.Incircle.svg|frame|right|სამკუთხედის სამივე ბისექტრისა ერთ წერტილში იკვეთება და ეს წერტილი ამ სამკუთხედში ჩახაზული წრეწირის ცენტრია]]
სამკუთხედის შიგა კუთხის ბისექტრისის მონაკვეთს კუთხის წვეროდან მის მოპირდაპირე გვერდამდე სამკუთხედის ბისექტრისა ეწოდება. ნებისმიერი სამკუთხედის სამივე ბისექტრისა ერთ წერტილში იკვეთება, რომელიც ყოველთვის სამკუთხედის შიგნით მდებარეობს. სამკუთხედის ბისექტისათა გადაკვეთის წერტილი ამ სამკუთხედში ჩახაზული წრეწირის ცენტრია.
 
=== სიმაღლე ===
[[სურათიფაილი:Triangle.Orthocenter.svg|frame|left|სამკუთხედის სამივე სიმაღლის შემცველი წრფეები ერთ წერტილში იკვეთება.]]სამკუთხედის [[სიმაღლე]] ეწოდება მონაკვეთს, რომელიც სამკუთხედის ნებისმიერ წვეროს აერთებს მის მოპირდაპირე გვერდათან ან მოპირდაპირე გვერდის გაგრძელებასთან და მისი მართობულია. სამკუთხედის სამივე სიმაღლის შემცველი წრფეები ერთ წერტილში იკვეთება და ეს წერტილი:
* მახვილკუთხა სამკუთხედში სამკუთხედის შიგნითაა.
* მართკუთხა სამკუთხედში მართი კუთხის წვეროა.
ტოლფერდა სამკუთხედში ფუძეზე დაშვებული სიმაღლე ამავდროულად მედიანაცაა და ბისექტრისაც. ტოლგვერდა სამკუთხედის ყველა სიმაღლე მედიანცაა და ბისექტრისაც. აქედან გამომდინარეობს, რომ მართკუთხა სამკუთხედში 30°-იანი კუთხის მოპირდაპირე კათეტი ჰიპოტენუზის ნახევარია.
 
=== შემოხაზული წრეწირი ===
[[სურათიფაილი:Triangle.Circumcenter.svg|frame|left|სამკუთხედზე შემოხაზული წრეწირის ცენტრი მისი გვერდების შუამართობების გადაკვეთის წერტილია.]]
წრეწირს, რომელიც მოცმეული სამკუთხედის სამივე წვეროზე გადის, სამკუთხედზე შემოხაზული წრეწირი ეწოდება, თავად სამკუთხედს კი - წრეწირში ჩახაზული სამკუთხედი. სამკუთხედის სამივე გვერდის შუამართობები ერთ წერტილში იკვეთება და ეს წერტილი სამკუთხედზე შემოხაზული წრეწირის ცენტრია. სამკუთხედზე შემოხაზული წრეწირის დიამეტრი ამ სამკუთხედის ერთ-ერთი გვერდისა და ამ გვერდის მოპირდაპირე კუთხის სინუსის შეფარდების ტოლია. აგრეთვე, თუ სამკუთხედის გვერდებია ''a'', ''b'' და ''с'', ფართობი - ''S'', მასზე შემოხაზული წრეწირის რადიუსი კი - ''R'', <math>R={abc \over 4S}</math>.
მართკუთხა სამკუთხედზე შემოხაზული წრეწირის რადიუსი ჰიპოტენუზის ნახევარია, მისი ცენტრი კი - ჰიპოტენუზის შუაწერტილი.
ტოლგვერდა სამკუთხედზე შემოხაზული წრეწირის რადიუსი გამოითვლება ფორმულით <math>R= {a \over \sqrt{3}}</math>, სადაც ''a'' ამ სამკუთხედის გვერდია, ''R'' - მასზე შემოხაზული წრეწირის რადიუსი.
 
=== ჩახაზული წრეწირი ===
[[სურათიფაილი:Triangle.Incircle.svg|frame|right|სამკუთხედში ჩახაზული წრეწირის ცენტრი მისი ბისექტრისების გადაკვეთის წერტილია.]]
წრეწირს, რომელიც მოცმეული სამკუთხედის სამივე გვერდს ეხება, სამკუთხედში ჩახაზული წრეწირი ეწოდება, თავად სამკუთხედს კი - წრეწირზე შემოხაზული სამკუთხედი. სამკუთხედის სამივე ბისექტრისა ერთ წერტილში იკვეთება და ეს წერტილი სამკუთხედში ჩახაზული წრეწირის ცენტრია. სამკუთხედში ჩახაზული წრეწირის რადიუსი ამ სამკუთხედის ფართობისა და ნახევარპერიმეტრის შეფარდების ტოლია. ანუ, თუ სამკუთხედის ნახევარპერიმეტრია ''p'', ფართობი - ''S'', მასში ჩახაზული წრეწირის რადიუსი კი - ''r'', <math>r={S \over p}</math>. თუ მართკუთხა სამკუთხედის კათეტებია ''a'' და ''b'', ჰიპოტენუზა - ''c'', ჩახაზული წრეწირის რადიუსი იქნება <math>{a+b-c \over 2}</math>.
 
ტოლგვერდა სამკუთხედში ჩახაზული წრეწირის რადიუსი გამოითვლება ფორმულით <math>r= {a \over 2 \sqrt{3}}</math>, სადაც ''a'' ამ სამკუთხედის გვერდია, ''r'' - მასში ჩახაზული წრეწირის რადიუსი.
 
== დამოკიდებულებები სამკუთხედში ==
'''სინუსების თეორემა''': სამკუთხედის გვერდები მოპირდაპირე კუთხეების სინუსების პროპორციულია.
 
სადაც ''a'', ''b'' და ''c'' სამკუთხედის გვერდებია, α, β და γ - ამ გვერდების მოპირდაპირე კუთხეები შესაბამისად.
 
=== სხვა დამოკიდებულებები ===
:#<math>{a\over b}={a_L\over b_L}</math> - დამოკიდებულება იმ მონაკვეთებისთვის, რომლებსაც მოკვეთს ბისექტრისა მოპირდაპირე გვერდზე.
:#<math>l_c = {\sqrt{ab(a+b+c)(a+b-c)}\over{a+b}} = \sqrt{ab-a_Lb_L}</math> - ბისექტრისის პოვნა.
:''S'' – სამკუთხედის ფართობი
 
== ფართობი ==
სამკუთხედის ფართობის გამოთვლის სხვადასხვაგვარი გზები არსებობს. მაგ.:
* სამკუთხედის ფართობი მისი ერთ-ერთი გვერდის და ამ გვერდისადმი დაშვებული სიმაღლის ნამრავლის ნახევარია.
* <math>S={a^2 \sin B \sin C \over 2 \sin A} = {a^2 \sin B \sin (180^\circ- \angle A- \angle B) \over 2 \sin A} = {c^2 \over 2( \operatorname{ctg} A + \operatorname{ctg} B)}</math>, სადაც ''a'' და ''c'' სამკუთხედის გვერდებია, ''A'' და ''C'' – მათი მოპირდაპირე კუთხეები, ''B'' – მესამე კუთხე.
 
== ლიტერატურა ==
*''გ. გოგიშვილი, თ. ვეფხვაძე, ი. მებონია, ლ. ქურჩიშვილი'' – გეომეტრია (მეცხრე კლასის სახელმძღვანელო). თბილისი, „ინტელექტი“, 2004.
*''ბ. ღვაბერიძე, ფ. დვალიშვილი, ალ. მოსიძე, კ. გელაშვილი, გ. სირბილაძე'' – მათემატიკა: გეომეტრია.
*''ს. თოფურია, გ. აბესაძე, გ. ოზბეგაშვილი, ვ. ხოჭოლავა, ზ. მეტრეველი'' - მათემატიკა, II ნაწილი. გეომეტრია (თეორია და ამოცანათა კრებული). მესამე გამოცემა. გამომცემლობა „განათლება“, თბილისი - 1991.
 
== რესურსები ინტერნეტში ==
{{Commonscat|Triangles}}
* [http://www.btinternet.com/~se16/hgb/triangle.htm სამკუთხედის ფართობი - 7 სხვადასხვა გზა]
[[vi:Tam giác]]
[[vls:Drieoek]]
[[war:Triangulo]]
[[yi:דרייעק]]
[[yo:Anígunmẹ́ta]]
77 453

რედაქტირება