|
ბანახის სივრცის კონკრეტული მაგალითებია [[Lp სივრცე|L<sup>''p''</sup> სივრცეები]]. L<sup>''p''</sup>–ს ელემენტებია ისეთი [[ლებეგის ზომა|ლებეგის აზრით ზომადი]] ფუნქციები რომელთა [[მოდული|მოდულის]] ''p''-ურ ხარისხს გააჩნია სასრული [[ინტეგრალი]].
ფუნქციონალური ანალიზიში ესევეასევე მნიშვნელოვანია ჰილბერტის და ბანახის სივრცეებზე განმარტებული [[უწყვეტობა|უწყვეტი]] [[წრფივი ოპერატორები]]ს გამოკვლევა. ამათ ბუნებრივად მივყავართ [[C*-ალგებრა|C*-ალგებრების]] და სხვა სტრუქტურების განმარტებამდე, რომლებიც თავის მხრივ ფუნქციონალურ ანალიზის მნიშვნელოვან საგანს წარმოადგენენ.
ფუნქციონალური ანალიზი კერძოდ სწავლობს ნორმით აღჭურვილ ვექტორულ სივრცეებს. თეორიის განვითარება დაიწყო 20 საუკუნის დასაწყისიდან, დიდი წვლილი მიუძღვით აღმოსავლეთ-ევროპელ მათემატიკოსებს.
ამჟამად ფუნქციონალური ანალიზის ორი ძირითადი მიმართულებაისმიმართულების კლასიფიკაცია შეიძლება როგორც: ოპერატორისოპერატორთა თეორია (რომელიც განიხილავს ოპერატორს დამოუკიდებლად) და ოპერატორთა ალგებრის თეორია (რომელიც ოპერატორს განიხილავს სათანადო ალგებრის კონტექსტში). ამ უკანასკნელი მიმართულების აქტიური სფეროა ეწე.წ. C*-ალგებრათა შესწავლა და კლასიფიკაცია.
ფუნქციონალური ანალიზის კლასიკური შედეგებია: ღია, დახურული და შებრუნებული (open mapping, closed graph) "ფუნქციების" თეორემები; რისის წარმომადგენლობის თეორემები წრიფივი ფუნქციონალებისათვის; ამოზნექილი სივრცეებში კრაინისა და მილმანის თეორემა; ბანაჰ შტაინჰაუზის თეორემა; ფრედჰოლმის თეორია; ფუნქციონალური დიფერენციალური აღრიცხვა (functional calculus); გელფანდ - ნაიმარკის თეორია; ლომონოსოვის ლემა.
ფუნქციონალური ანალიზისანალიზში კვლევა ძირითადად მიმდინარეობს ბანაჰისბანახის სივრცეებში, ხშირად უფრო სპეციალიზირებულად - ჰილბერტის სივრცეებში. კვლევის საგანია თავად ეს სივრცეები, წრფივი შეოსაზღვრულიშემოსაზღვრული (bounded) ოპერატორები მათზე და მათი ორეულიორადული სივრცეები (dual spaces). კიდევ უფრო საგანგებოშთამბეჭდავი შედეგები მიღებულია C*-ალგებრაში. კლასიკური სივრცეები ხშირად განიხილება სხვადასხვა ტოპოლოგიით. სახალისოდ დათვლილია, რომ ჰილბერტის სივრცე განხილულია 17 სხვადასხვა ტოპოლოგიით, ამათგან უფრო მნიშვნელოვანია: თავდაპირველი (ნორმანორმის), სუსტი, სუსტი*, მაკეის, სუსტი ოპერატორიოპერატორის, ძლიერი ოპერატორიოპერატორის ტოპოლოგიები.
გარდა ზემოხსენებული კლასიკური ფუნქციონალური თეორიისაანალიზისა 20 საუკუნის მეორე ნახევარში განვითარდა არაწრფივი ფუნქციონალური ანალიზი.
უკანასკნელ ხანებში ფუნქციონალური ანალიზის ერთ ერთ ყველაზე აქტიური სფეროა ეწე.წ. თავისუფალი ალბათობის თეორია, რომელიც შეისწავლის შემოუსაზღვრელ (unbounded) წრფივ ოპერატორებს. თავისუფალი ალბათობის კვლევას საფუძველი ჯონ ფონ ნაიმანმანოიმანმა ჩაუყარა.
ფუნქციონალური ანალიზის შედეგება გამოიყენება მათემატიკის, ფიზიკის მრავალ სფეროშიდარგში, განსაკუთრებით ნაწილობრივაღსანიშნავია კერძო წარმოებულ დიფერენციალურ განტოლებებსა და ალბათობის თეორიაში.
== მნიშვნელოვანი თეორემები ==
| 