გადალაგება: განსხვავება გადახედვებს შორის

არ არის რედაქტირების რეზიუმე
(შექმნილია გვერდის თარგმნით "Derangement")
 
კომბინატორიკაში, '''გადალაგება''' არის სიმრავლის ელემენტების ისეთი გადანაცვლება, რომელშიც არც ერთი ელემენტი არ ემთხვევა თავისი პოზიციის ნომერს.
 
<math>n</math>-ელემენტიანი სიმრავლის გადალაგებების რაოდენობა ცნობილია, როგორც <math>n</math>-ის ქვეფაქტორიალი, ან გადალაგების <math>n</math>-ური წევრი და აღნიშნავენ, როგორც: !''n,'' Dn''D<sub>n</sub>'' ან dn''d<sub>n</sub>''.
 
დამტკიცებადია, რომ <math>!n = n! / e</math>, სადაც <math>e</math> არის ეილერის რიცხვი.
 
გადალაგებების ამოცანა პირველად განიხილა პიერ რეიმონდ დე მონტმორტმა 1708 წელს და ამოხსნა 1713 წელს, ამავე დროს ნიკოლას ბერნულიმაც.
== მაგალითი ==
[[ფაილი:Derangement4.png|მარჯვნივ|მინი| 24 გადანაცვლებიდან გამოკვეთილია 9 გადალაგება ]]
დავუშვათ, მასწავლებელმა ტესტირება ჩაუტარა <math>4 - A, B, C, D</math> სტუდენტს და სურს, რომ მათ ერთმანეთის ტესტები შეაფასონ. ცხადია, რომ მას არ უნდა რომელიმე სტუდენტმა თავისი ნაშრომი მიიღოს. კითხვა შემდეგია: რამდენი გზა არსებობს ტესტების დარიგებისა ისეთი, რომ არც ერთმა სტუდენტმა თავისი ნაშრომი არ მიიღოს? <math>4! = 24</math> შესაძლებელი გადანაცვლებიდან
 
არსებობს მხოლოდ 9 გადალაგება (იხ. სურათი) და სხვა გადანაცვლებებში ერთი მაინც სტუდენტი არსებობს, რომელიც თავის ნაშრომს (ანუ აკრძალულს) იღებს მასწავლებლისგან.
 
== გადალაგებების გამოანგარიშება ==
დავუშვათ, დგას <math>n</math> ადამიანი, გადანომრილი <math>1</math> - დან <math>n</math> - ის ჩათვლით, ასევე n ქუდი, გადანომრილი ასევე <math>1</math> - დან <math>n</math> - ის ჩათვლით. ვიპოვოთ იმ გზების რაოდენობა, რომლებშიც არც ერთი ადამიანი თავისი ნომრის ქუდს არ იხურავს. დავუშვათ, პირველი ადამიანი იხურავს <math>i</math>-ურ ქუდს. <math>i</math>-ური ქუდის ამორჩევის სულ <math>(n - 1)</math> ვარიანტია, რადგან მხოლოდ პირველი ქუდის დახურვა არ შეუძლია. ამის შემდეგ ამოცანა შეიძლება ორ ნაწილად გავყოთ, <math>i</math> - ური ადამიანის არჩევანის მიხედვით.
 
# თუ <math>i</math> - ურმა ადამიანმა საპასუხოდაც პირველი ქუდი აიღო, მაშინ ორი ადამიანი და ორი ქუდი მოგვარდა, დაგვრჩა გადავალაგოთ <math>n - 2</math> ადამიანი და <math>n - 2</math> ქუდი.
# თუ <math>i</math> - ურმა ადამიანმა პირველი არ აიღო, მაშინ გვექნება <math>n - 1</math> გადალაგება. რადგან პირველი არ გვაქვს, მე-<math>2</math> ადამიანი ვერ აიღებს მე-<math>2</math> ქუდს, მე-<math>3</math> ადამიანი ვერ აიღებს მე-<math>3</math>-ს, i-ურ ვერ აიღებს პირველ ქუდს (რადგან ეს ვარიანტი უკვე განვიხილეთ) <math>(i + 1)</math> - ურ ვერ აიღებს (i + 1) ურ ქუდს. ანუ დაგვრჩა (n - 1) ადამიანი, და თითოეულს ერთი აკრძალული ქუდი აქვს, შესაბამისად გვაქვს <math>(n - 1)</math> გადალაგება.
 
აქედან გამომდინარეობს შემდეგი რეკურენტული ფორმულა:
: <math>!n = (n - 1) ({!(n-1)} + {!(n-2)}).\,</math>
 
სადაც <math>!0 = 1</math> და <math>!1 = 0</math>.
[[კატეგორია:გადაადგილებები]]
481

რედაქტირება