სამკუთხედი: განსხვავება გადახედვებს შორის

Robot: pt:Triângulo is a former featured article; cosmetic changes
(fixed ref)
(Robot: pt:Triângulo is a former featured article; cosmetic changes)
{{მმ*|სამკუთხედი (მრავალმნიშვნელოვანი)}}
[[ფაილი:Triangle with notations 2.svg|thumb|240px|სამკუთხედი.]]
'''სამკუთხედი''' — უმარტივესი [[პოლიგონი|მრავალკუთხა]] [[გეომეტრიული ფიგურა]] (მრავალკუთხედი) სამი გვერდითა და სამი კუთხით; [[სიბრტყე|სიბრტყის]] ნაწილი, რომელიც ერთ [[წრფე|წრფეზე]]ზე არმდებარე სამი [[წერტილი]]თა და მათი შემაერთებელი სამი [[მონაკვეთი|მონაკვეთით]] შემოიფარგლება. სამკუთხედი შეიძლება იყოს მრავალი სახის, მაგრამ ყოველ მათგანს გააჩნია ექვსი ძირითადი ელემენტი: წვეროებით და გვერდებით შედგენილი სამი [[შიგა კუთხე]] და სამი [[გვერდი]]. ყოველი სამკუთხედი [[ამოზნექილი მრავალკუთხედი]]ა.
 
== სამკუთხედის ტიპები ==
== ძირითადი ნიშნები ==
სამკუთხედის ნებისმიერ გარე კუთხე (შიგა კუთხის მოსაზღვრე კუთხე) მისი ორი არამოსაზღვრე შიგა კუთხის [[ჯამი (მათემატიკა)|ჯამის]] ტოლია. [[ევკლიდური გეომეტრია|ევკლიდურ გეომეტრიაში]] ნებისმიერი სამკუთხედის გვერდები და კუთხეები უნდა აკმაყოფილებდეს შემდეგ პირობებს:
* სამკუთხედის შიგა [[კუთხე]]ების ჯამი 180°-ია.
* ნებისმიერი ორი გვერდის სიგრძეთა ჯამი მეტია მესამე გვერდის სიგრძეზე (სამკუთხედის უტოლობა).
 
სამკუთხედის კუთხეებსა და გვერდებს შორის არსებობს გარკვეული კავშირი. მაგ., თუ ვუდარებთ ორ გვერდს და მათ მოპირდაპირე ორ კუთხეს, მაშინ უდიდესი გვერდის პირდაპირ უდიდესი კუთხე მდებარეობს. საზოგადოდ, სამკუთხედში უფრო დიდი გვერდის პირდაპირ უფრო დიდი კუთხე იმყოფება. ამას ეფუძნება ის, რომ მართკუთხა სამკუთხედში ჰიპოტენუზა უდიდესი გვერდია (მართლაც, მართკუთხა სამკუთხედში უდიდესი კუთხე მართი კუთხეა), ბლაგვკუთხა სამკუთხედში კი — ბლაგვი კუთხის მოპირდაპირე გვერდი.
 
ორ სამკუთხედს ტოლი ეწოდება, თუ მათ აქვთ ერთი და იგივე ძირითადი ელემენტები (სამი გვერდი და სამი კუთხე). იმისათვის რომ ტოლი სამკუთხედების ტოლობაში დავრწმუნდეთ, არაა საჭირო მათი თითოეული ელემენტის შედარება. უმჯობესია გამოვიყენოთ სამკუთხედების ტოლობის ნიშნები:
# თუ ერთი სამკუთხედის ორი გვერდი და მათ შორის მდებარე კუთხე ტოლია მეორე სამკუთხედის ორი გვერდის და მათ შორის მდებარე კუთხის, მაშინ ეს სამკუთხედები ტოლია.
# თუ ერთი სამკუთხედის ერთი გვერდი და მასთან მდებარე ორი კუთხე ტოლია მეორე სამკუთხედის ერთი გვერდის და მასთან მდებარე ორი კუთხის, მაშინ ეს სამკუთხედები ტოლია.
# თუ ორ სამკუთხედს ერთი და იგივე სიგრძის გვერდები აქვს, მაშინ ეს სამკუთხედები ტოლია.
 
თუ გვინდა ორი მართკუთხა სამკუთხედის ტოლობის ჩვენება, უნდა გავითვალისწინოთ, რომ მათ თითო კუთხე მართი და, შესაბამისად, ტოლი აქვთ. ამასთანაა დაკავშირებული მართკუთხა სამკუთხედების ტოლობის ნიშნები:
# თუ ერთი მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზა და მახვილი კუთხე, შესაბამისად, ტოლია მეორე მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზის და მახვილი კუთხის, მაშინ ეს სამკუთხედები ტოლია.
# თუ ერთი მართკუთხა სამკუთხედის კათეტი და მისი მოპირდაპირე კუთხე, შესაბამისად, ტოლია მეორე მართკუთხა სამკუთხედის კათეტის და მისი მოპირდაპირე კუთხის, მაშინ ეს სამკუთხედები ტოლია.
# თუ ერთი მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზა და კათეტი, შესაბამისად, ტოლია მეორე მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზის და კათეტის, მაშინ ეს სამკუთხედები ტოლია.
 
[[ფაილი:Msgavsi samkutkhedebi.png|thumb|400px|მსგავსი სამკუთხედები.]]
უნდა გავითვალისწინოთ, რომ ჩანაწერში წვეროების მიმდევრობაში დგას ტოლი კუთხეების შესაბამისი წვეროები. თუ
:<math>\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1,</math> მაშინ
* <math>A \!</math> და <math>A_1, \!</math>
* <math>B \!</math> და <math>B_1, \!</math>
* <math>C \!</math> და <math>C_1, \!</math>
შესაბამისი წვეროების წყვილებია. შესაბამისი წვეროებისგან შედგენილ გვერდებს შესაბამისი გვერდები ეწოდება.
 
 
სამკუთხედების მსგავსების დასადგენად გამოიყენება სამკუთხედების მსგავსების ნიშნები:
# თუ ერთი სამკუთხედის ორი კუთხე, შესაბამისად, ტოლია მეორე სამკუთხედის ორი კუთხის, მაშინ ეს სამკუთხედები მსგავსია.
# თუ ერთი სამკუთხედის ორი გვერდი, შესაბამისად, პროპორციულია მეორე სამკუთხედის ორი გვერდის და ამ გვერდებით შედგენილი კუთხეები ტოლია, მაშინ ეს სამკუთხედები მსგავსია.
# თუ ერთი სამკუთხედის გვერდები, შესაბამისად, პროპორციულია მეორე სამკუთხედის გვერდების, მაშინ ეს სამკუთხედები მსგავსია.
 
რადგან მართკუთხა სამკუთხედებს თითო კუთხე მართი და, შესაბამისად, ტოლი აქვთ, მათთვის სამკუთხედების მსგავსების პირველი ორი ნიშანი შემდეგია:
# მართკუთხა სამკუთხედები მსგავსია, თუ მათ თითო მახვილი კუთხე ტოლი აქვთ.
# მართკუთხა სამკუთხედები მსგავსია, თუ ერთი მათგანის კათეტები მეორეს კათეტების პროპორციულია.
 
[[ფაილი:Samkutkh_paral_msgavseba.png|thumb|240px|სამკუთხედის ერთ-ერთი გვერდის პარალელური წრფით დანარჩენი ორი გვერდის გადაკვეთისას მოცემული სამკუთხედის მსგავსი სამკუთხედი „ჩამოიჭრება“.]]
სიბრტყეზე მდებარე სამკუთხედისთვის სამართლიანია შემდეგი ტოლობები:
 
* <math>{a\over b}={a_L\over b_L},</math>
 
* <math>l_c = {\sqrt{ab(a+b+c)(a+b-c)}\over{a+b}} = \sqrt{ab-a_Lb_L},</math>
 
* <math>m_c = {1 \over 2}\sqrt{2(a^2+b^2)-c^2},</math>
 
* <math>h_c = {2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\over c},</math>
 
* <math> \operatorname{ctg} A={b^2+c^2-a^2 \over 4S},</math>
 
* <math> \operatorname{ctg} A+ \operatorname{ctg} B+ \operatorname{ctg} C={a^2+b^2+c^2 \over 4S},</math>
 
* <math> \operatorname{tg} A+ \operatorname{tg} B+ \operatorname{tg} C= \operatorname{tg} A \operatorname{tg} B \operatorname{tg} C,</math>
 
* <math> \operatorname{ctg} B \operatorname{ctg} C+ \operatorname{ctg} C \operatorname{ctg} A+ \operatorname{ctg} A \operatorname{ctg} B=1.</math>
 
 
 
* სამკუთხედის ფართობი მისი რაიმე ორი გვერდისა და ამ გვერდებს შორის კუთხის სინუსის ნამრავლის ნახევარია.
** კერძოდ, მართკუთხა სამკუთხედის ფართობი მისი კათეტების სიგრძეების ნამრავლის ნახევარია.
** კერძოდ, ტოლგვერდა სამკუთხედის ფართობია
:<math>{a^2\sqrt{3} \over 4},</math>
სადაც ''a'' ამ სამკუთხედის გვერდის სიგრძეა.
:<math>S={abc \over 4R}.</math>
 
* <math>S={a^2 \sin B \sin C \over 2 \sin A} = {a^2 \sin B \sin (180^\circ- \angle A- \angle B) \over 2 \sin A} = {c^2 \over 2( \operatorname{ctg} A + \operatorname{ctg} B)},</math>
სადაც ''a'' და ''c'' სამკუთხედის გვერდების სიგრძეებია, ''A'' და ''C'' — მათი მოპირდაპირე კუთხეები, ''B'' — მესამე კუთხე.
 
 
{{Link FA|km}}
{{Link FA|pt}}
77,408

რედაქტირება