წრფივი ალგებრა: განსხვავება გადახედვებს შორის

არ არის რედაქტირების რეზიუმე
'''წრფივი ალგებრა''' — [[მათემატიკა|მათემატიკის]], უფრო ვიწროდ კი [[ალგებრა|ალგებრის]] დარგი რომელიც შეისწავლის [[ვექტორი|ვექტორებს]], [[წრფივი სივრცე|ვექტორულ სივრცეებს]] (სხვანაირად წრფივი სივრცე), [[წრფივი გარდაქმნა|წრფივ გარდაქმნებს]] და მსგავს მათემატიკურ [[სტრუქტურა|სტრუქტურებს]]. წრფივი გარდაქმნა განსაკუთრებული ასახვაა, რომელიც ინახავს წრფივი სივრცის ოპერაციებს. წრფივი ალგებრა თანამედროვე მათემატიკის მნიშვნელოვანი დარგია. ის გამოიყენება წრფივი [[განტოლება|განტოლებების]] [[სისტემა (მათემატიკა)|სისტემის]] ამოსახსნელად, [[აბსტრაქტული ალგებრა|აბსტრაქტულ ალგებრასა]] და [[ფუნქციური ანალიზი|ფუნქციურ ანალიზში]]. წრფივი ალგებრის სტრუქტურების წარმოსახვაში [[ანალიტიკური გეომეტრია]] გვეხმარება. ის ფართოდ გამოიყენება [[ინჟინერია]]ში, [[ფიზიკა]]სა და სხვადასხვა [[მეცნიერება|მეცნიერებებში]].
 
== ძირითადი სტრუქტურები ==
=== 4. წრფივი სივრცე
მეორე ობიექტი, რომელიც ჩვენი ძირითადი ყურადღების საგანია, არის წრფივი სივრცე. ამ ტიპის ჩვენთვის ჩვეულებრივი ობიექტია სიბრტყე.
 
4.1. წრფივი სივრცე
განსზღვრება 4.1.1
სიმრავლეს S მასში განსაზღვრულ ოპერაციებით (შეკრება + და ველის ელემენტზე გამრავლება •) ეწოდება წრფივი სივრცე (ან ვექტორული სივრცე) V ველის მიმართ, თუ დაკმაყოფილებულია მოთხოვნები:
1. s + t = t + s, ყოველი s და t ელემენტისათვის S-დან
შემდგომში ვექტორი ვუწოდოთ წრფივი სივრცის ელემენტს.
 
თეორემა 4.1.2
თუ a • s = 0, მაშინ ან s = 0 ან a = 0
 
თვით ველი წრფივი სივრცის ერთ ერთი მაგალითია იმავე ოპერაციების მიმართ რაც ველშია განსაზღვრული.
 
მაგალითი 4.1.3
ველის ველით გაფართოება V ⊂ W წრფივი სივრცის მაგალითია. W-ში არსებული ოპერაციების მიმართ W წრფივი სივრცეა V-ს მიმართ.
 
შევნიშნოთ, რომ თუ S არის წრფივი სივრცე W-ს მიმართ, მაშინ ის ავტომატურად არის წრფივი სივრცე V-ს მიმართაც.
 
მაგალითი 4.1.4
ნებისმიერი სიმრავლის B ასახვები ველში V ჰქმნის წრფივ სივრცეს M(B, V). ორი f და g ასახვის ჯამი იყოს ანასახების ჯამით განსაზღვრული ასახვა, ანუ
(f + g)(B) = f(x) + g(x)
ადვილი შესამოწმებელია, რომ მივიღეთ წრფივი სივრცე.
 
მაგალითი 4.1.5
სივრცეში M(B, V) გამოვყოთ ქვესივრცე ასახვებისა რომელთა მნიშვნელობები მხოლოდ სასრულ რაოდენობა არგუმენტზეა ნულისაგან განსხვავებული, თითქმის ყველგან ნულია. აღვნიშნოთ იგი F(B, V)-ით. თუ თვით სიმრავლე B სასრულია, მაშინ, რასაკვირველია, F(B, V) = M(B, V). თვით B განვიხილოთ ჩადგმული ამ სივრცეში: თუ b ∈ B, განვიხილოთ b როგორც ასახვა, რომელიც თვით b-ს შეუსაბამებს ველის ერთიანს, ხოლო ყველა დანარჩენს ნულს. სივრცის F(B, V) ყოველი ელემენტი a: B → V შეგვიძლია წარმოგვიდგინოთ კომბინაციის სახით a = ∑ a(b) • b.
 
მაგალითი 4.1.6
პოლინომთა სიმრავლე წრფივი სივრცის მაგალითია. ავირჩიოთ რაიმე სიმბოლო, ვთქვათ x, და განვიხილოთ ფორმალურ ხარისხთა სიმრავლე X = {x⁰ = 1, x¹ = x, x², x³, . . .}. წრფივი სივრცე F(X, V) იქნება მრავალწევრთა წრფივი სივრცე V[x]. მისი ყოველი ვექტორი a, ანუ ასახვა X-დან V-ში შეიძლება ჩავწეროთ შემდეგი სახით
a₀ + a₁ • x + a₂ • x² + a₃ • x³ + . . .
ველის V ელემენტებია.
 
მაგალითი 4.1.7
თუ შემოვიფარგლებით მხოლოდ k-ზე ნაკლები ხარისხის მრავალწევრებით, მივიღებთ წრფივ სივრცეს V[x, k]-ს.
V[x, 1] = V, V[x, 2] = {a₁ • x + a₀}, . . .
თუ მოცემულია გაფართოება V ⊂ W, მაშინ V[x]-ის ელემენტი შეგვიძლია განვიხილოთ როგორც W-დან W-ში ასახვა: W-ს ელემენტ w-ს ანასახი იქნება ველი W-ს ელემენტი რომელიც მიიღება პოლინომში x-ის მაგივრად w-ს ჩასმით. V[x]-ში შეიძლება შემოვიტანოთ გამრავლებაც, როგორც V-დან V-ში ასახვის მნიშვნელობათა გამრავლება, ანუ პოლინომთა ჩვეული მოქმედება. ამ მოქმედებათა მიმართ პოლინომთა სიმრავლე კომუტატური რგოლია. თვით ველი ამ რგოლის ქვერგოლია, როგორც მუდმივ ასახვათა სიმრავლე, ანუ ნულოვანი ხარისხის პოლინომთა სიმრავლე. ამგვარ წარმონაქმნს უწოდებენ ალგებრას აღებული ველის მიმართ.
 
მაგალითი 4.1.8
წრფივი სივრცის კლასიკური მაგალითია ველის ელემენტთა n-ეულების სიმრავლე Vn. თუ ავიღებთ სიმრავლეს B = {1, 2, . . ., n}, მაშინ Vn = F(B, V). ჩვეულებრივ მის ვექტორს, ანუ ასახვას B → V წარმოადგენენ როგორც (u1, u2, . . .). ოპერაციები ასე შეიძლება ჩაიწეროს
(u1, u2, . . .) + (v1, v2, . . .) = (u1 + v1, u2 + v2, . . .)
ყოველივე ზემოდ აღწერილი უნდა დავინახოთ როგორც წრფივი სივრცის მოცემის სხვადასხვა ფორმა. ამ ფორმებს შორის ბუნებრივი შესაბამისობებია. საქმეში უნდა გამოვიყენოთ ის ფორმა რომელიც ყველაზე უფრო მორგებულია განსახილველ საკითხთან.
 
4.2. ქვესივრცე
წრფივი სივრცის ქვესიმრავლე თუ სივრცეში განსაზღვრული ოპერაციების მიმართ ჩაკეტილია, მაშინ იგი თვით იქნება წრფივი სივრცე. ამგვარ ქვესიმრავლეს ქვესივრცეს უწოდებენ.
 
მხოლოდ ნული ერთერთი ქვესივრცეა, ერთადერთი, რომელიც ერთი ვექტორისაგან შესდგება. თვით სივრცეც ფორმალურად თავის თავის ქვესივრცეა. შემდგომში ჩვეულებრივ ქვესივრცედ ამ ქვესივრცეს არ ვიგულისხმებთ.
 
მაგალითი 4.2.1
ყოველი ვექტორი a განსაზღვრავს ქვესივრცეს V • a-ს, რომელშიც ვგულისხმობთ სიმრავლე {v • a}-ს, სადაც v გაორბენს ველი V-ს ყველა ელემენტს.
 
მაგალითი 4.2.2
წრფივი სივრცის S ყოველი ქვესიმრავლე B განსაზღვრავს წრფივ სივრცეს F(B, V). თუ ასახვას f: B → V შევუსაბამებთ S-ის ვექტორს ∑f(b) • b მივიღებთ ასახვას F(B, V) → S. გამოსახულებას ∑f(b) • b შეიძლება შევხედოთ როგორც F(B, V)-ის ელემენტს და შეიძლება შევხედოთ როგორც S-ის ელემენტს. ეს ორი ხედვა უნდა განვასხვავოთ. პრიველი ხედვით განსხვავებული გამოსახულება შეიძლება მეორე ხედვით ტოლი აღმოჩდეს. ამ ასახვის ანასახი იქნება S-ის უმცირესი ქვესივრცე რომელიც მოიცავს B-ს. ამ ქვესივრცეს B-თი წარმოქმნილს უწოდებენ და V[B]-თი აღვნიშნავთ.
 
მაგალითი 4.2.3
ქვესივრცის კიდევ ერთი მაგალითია V[x, k]. ყოველი k-სათვის ის წრფივი სივრცე V[x]-ის ქვესივრცეა, V[x, k] ⊂ V[x].
 
ქვესივრცეთა თანაკვეთა წრფივი ქვესივრცეა. ქვესივრცეთა გაერთიანება არ არის წრფივი სივრცე, ქვესივრცეთა ჯამად ვიგულისხმოთ მათ მომცველ სივრცეთა თანაკვეთა, ანუ უმცირესი ქვესივრცე, რომელიც ყოველი მათგანის მომცველია. წრფივი სივრცის ქვესივრცეთა სიმრავლე ამ ოპერაციებით ჰქმნის სტრუქტურას, რომელსაც მესერს (lattice) უწოდებენ.
 
4.3. აფინური სივრცე
განმარტება 4.3.1
წრფივი სივრცე S-ის მიმართ აფინურ სივრცეს უწოდებენ სიმრავლე A-ს და მასში განმარტებულ ოპერაციას:
A-ს წერტილს მიმატებული S-ის ვექტორი, თუ
3. (a + s) + t = a + (s + t), ყოველი a-სათვის A-დან და s და t-სათვის S-დან
 
მაგალითი 4.3.2
აფინური სივრცის ყველაზე გავრცელებულ მაგალითს იძლევა ქვესივრცე. ვთქვათ T არის S-ის ქვესივრცე. ავირჩიოთ რაიმე წერტილი S-დან s და განვიხილოთ ყველა ჯამი s + t, სადაც t ეკუთვნის T-ს, ანუ სიმრავლე s + T. ეს სიმრავლე იქნება T-ს მიმართ აფინური სივრცე.
 
ასევე შეიძლება განიმარტოს უფრო მაღალი განზომილების ბრტყელი ობიექტი. ყველა ამათგანი აფინური ქვესივრცე იქნება, ოღონდ საკუთარი წრფივი სივრცით. აფინური ქვესივრცის შესაქმნელად საჭიროა გამოვყოთ წრფივი ქვესივრცე და წერტილი.
 
4.4. ფაქტორსივრცე
ავიღოთ S-ში ქვესივრცე T. ნებისმიერი ელემენტისათვის u სივრციდან S განვიხილოთ u + T ქვესიმრავლე. ეს ქვესიმრავლე T-ს მიმართ აფინური სივრცეა. მთელი სივრცე დაიყოფა ურთიერთ არაგადამკვეთ აფინურ სივრცეებად, შრეებად. თუ ვექტორი v შედის u + T შრეში, მაშინ v = u + t, სადაც t ქვესივრცე T-ს ვექტორია. ამიტომ შრეები u + T და v + T ერთი და იგივეა, ანუ u + T = v + T. შრეები ან არ გადაიკვეთება, ან ემთხვევა ერთმანეთს. ერთერთი ამგვარი შრე თვით ქვესივრცე T-ა. ამ შრეთა ერთობლიობა წრფივი სივრცეა ინდუცირებული შეკრებისა და ველის ელემენტზე გამრავლების მიმართ. ამ წრფივ სივრცეს ფაქტორსივრცეს უწოდებენ და აღნიშნავენ S / T-თი.
 
თუ ქვესივრცე R-სა და T-ს თანაკვეთა ნულია, მაშინ R-ს ყოველ შრეში აქვს არა უმეტეს ერთი ელემენტისა. მართლაც, R-ში რომ არსებობდეს ორი განსხვავებული ელემენტი s და r, რომელიც T-ს მიმართ ერთი და იგივე შრეში შედის, მაშინ r - s უნდა ეკუთვნოდეს T-ს, ანუ r - s = 0, r = s. რაც ეწინააღმდეგება დაშვებას. აქედან გამომდინარეობს
 
თეორემა 4.4.1
თუ R და T-ს თანაკვეთა ნულია, მაშინ R-ს შეესაბამება S / T-ში R-ის იზომორფული ქვესივრცე.
 
20

რედაქტირება