წრფივი ალგებრა: განსხვავება გადახედვებს შორის

არ არის რედაქტირების რეზიუმე
(r2.7.1) (ბოტის დამატება: la:Algebra linearis)
 
== ძირითადი სტრუქტურები ==
=== 4. წრფივი სივრცე ===
მეორე ობიექტი, რომელიც ჩვენი ძირითადი ყურადღების საგანია, არის წრფივი სივრცე. ამ ტიპის ჩვენთვის ჩვეულებრივი ობიექტია სიბრტყე.
'''წრფივი სივრცე S ველი V-ს მიმართ''' შედგება სიმრავლისგან, რომელზეც განსაზღვრულია '''შეკრება''' და '''V-ს ელემენტზე გამრავლება'''. ეს ოპერაციები აკმაყოფილებს პირობებს
* თუ ''x'', ''y'' და ''z'' არის ''S''-ის ელემენტები, ხოლო ''v'' კი ''V''-ს ელემენტი მაშინ:
# ''x'' + ''y'' = ''y'' + ''x'' (შეკრების გადანაცვლებადობა)
# (''x'' + ''y'') + ''z'' = ''x'' + (''y'' + ''z'') (შეკრების ჯუფთებადობა)
# ''S''-ში არსებობს ელემენტი ''0'' ისეთი, რომ ''S''-ის ნებისმიერი ელემენტი ''x''-სათვის სამართლიანია ტოლობა ''x'' + 0 = ''x''
# ''S''-ის ნებისმიერი ელემენტი ''x''-სათვის არსებობს ''S''-ის ელემენტი ''y'', რომლისთვისაც ''x'' + ''y'' = ''0''
# თუ ''x V''-ს ელემენტია, მაშინ 1''x''=''x'';
# თუ ''a'' და ''b'' ''F''-ის ელემენტებია, ''x'' კი — ''V''-ს ელემენტი, მაშინ (''ab'')''x''=''a''(''bx'');
# თუ ''a F''-ის ელემენტია, ''x'' და ''y'' კი — ''V''-ს ელემენტი, მაშინ ''a''(''x''+''y'')=''ax''+''ay'';
# თუ ''a'' და ''b F''-ის ელემენტებია, ''x'' კი —''V''-ს ელემენტი, მაშინ (''a''+''b'')''x''=''ax''+''bx''.
(''x''+''y'')-ს ეწოდება ''x''-ისა და ''y''-ის '''ჯამი''', ''ax''-ს კი — ''a''-სა და ''x''-ის '''ნამრავლი'''.
 
4.1. წრფივი სივრცე
ვექტორული სივრცის ელემენტებს ვექტორები ეწოდება, ველის ელემენტებს კი — სკალარები. ამ სტატიაში ვექტორები კურსივით გამოისახება, სკალარები — არა (მაგალითად, ''0'' ვექტორია, 0 კი — სკალარი). ვექტორული სივრცის მე-3 თვისებიდან (ზემოთ) პირდაპირ გამომდინარეობს, რომ ვექტორული სივრცე არასდროს არ შედგება ცარიელი სიმრავლისგან. ელემენტარულად მტკიცდება, რომ მე-3 თვისებაში აღწერილი ვექტორი ''0'' უნიკალურია. აგრეთვე მარტივი დასანახია, რომ მე-4 თვისებაში აღწერილი ვექტორი ''y'' უნიკალურია. დამატებით შეგვიძლია ვაჩვენოთ, რომ ''V''-ს ნებისმიერი ელემენტისთვის ''x'', 0''x''=''0'' და ''F''-ის ნებისმიერი ელემენტისთვის ''a'', ''a0''=''0''.
განსზღვრება 4.1.1
სიმრავლეს S მასში განსაზღვრულ ოპერაციებით (შეკრება + და ველის ელემენტზე გამრავლება •) ეწოდება წრფივი სივრცე (ან ვექტორული სივრცე) V ველის მიმართ, თუ დაკმაყოფილებულია მოთხოვნები:
1. s + t = t + s, ყოველი s და t ელემენტისათვის S-დან
2. არსებობს ელემენტი 0, ისეთი რომ s + 0 = s, ყოველი s-სათვის S-დან
3. ყოველი s-სათვის S-დან არსებობს ელემენტი –s, ისეთი რომ s + (–s) = 0
4. b • (a • s) = (b • a) • s, ყოველი x-სათვის S-დან და a და b-თათვის V-დან
5. a • (s + t) = (a • s) + (a • t), ყოველი s და t-თათვის S-დან და a-სათვის V-დან
6. ყოველი s-სათვის 0 • s = 0, სადაც მარცხენა ნული V-ს ელემენტია, მარჯვენა კი S-ის
7. ყოველი s-ისათვის 1 • s = s, სადაც 1 ველის ერთიანია
 
შემდგომში ვექტორი ვუწოდოთ წრფივი სივრცის ელემენტს.
=== წრფივი გარდაქმნა ===
[[ფუნქცია (მათემატიკა)|ფუნქციას]] ''T'' ვექტორული სივრციდან ''V'' ვექტორულ სივრცეზე ''W'' ეწოდება წრფივი გარდაქმნა, თუ ის აკმაყოფილებს შემდეგს:
# ''V''-ს ვექტორებისთვის ''x'' და ''y'', ''T''(''x''+''y'')=''T''(''x'')+''T''(''y'');
# ველის სკალარისთვის ''a'' და ''V''-ს ვექტორისთვის ''x'', ''T''(''ax'')=''a'' ''T''(''x'').
 
თეორემა 4.1.2
წრფივი გარდაქმნა ყოველთვის შეგვიძლია წარმოვადგინოთ მატრიცის სახით, რაც აბსტრაქტულ ფუნქციებთან მუშაობას ამარტივებს.
თუ a • s = 0, მაშინ ან s = 0 ან a = 0
 
დამტკიცება
== ლიტერატურა ==
თუ a ≠ 0 და a • s = 0, გავამრავლოთ ტოლობა a¯-ზე. გვექნება 0 = a¯ • 0 = a¯ • a • s = 1 • s = s.
* Fearnley-Sander, Desmond, "Hermann Grassmann and the Creation of Linear Algebra" ([http://mathdl.maa.org/images/upload_library/22/Ford/DesmondFearnleySander.pdf]), American Mathematical Monthly '''86''' (1979), pp. 809–817.
*Grassmann, Hermann, ''Die lineale Ausdehnungslehre ein neuer Zweig der Mathematik: dargestellt und durch Anwendungen auf die übrigen Zweige der Mathematik, wie auch auf die Statik, Mechanik, die Lehre vom Magnetismus und die Krystallonomie erläutert'', O. Wigand, Leipzig, 1844.
 
თვით ველი წრფივი სივრცის ერთ ერთი მაგალითია იმავე ოპერაციების მიმართ რაც ველშია განსაზღვრული.
{{მათემატიკის დარგები}}
{{მათემატიკა}}
 
მაგალითი 4.1.3
[[კატეგორია:ალგებრა]]
ველის ველით გაფართოება V ⊂ W წრფივი სივრცის მაგალითია. W-ში არსებული ოპერაციების მიმართ W წრფივი სივრცეა V-ს მიმართ.
 
შევნიშნოთ, რომ თუ S არის წრფივი სივრცე W-ს მიმართ, მაშინ ის ავტომატურად არის წრფივი სივრცე V-ს მიმართაც.
[[af:Lineêre algebra]]
 
[[ar:جبر خطي]]
მაგალითი 4.1.4
[[az:Xətti cəbr]]
ნებისმიერი სიმრავლის B ასახვები ველში V ჰქმნის წრფივ სივრცეს M(B, V). ორი f და g ასახვის ჯამი იყოს ანასახების ჯამით განსაზღვრული ასახვა, ანუ
[[be:Лінейная алгебра]]
(f + g)(B) = f(x) + g(x)
[[bg:Линейна алгебра]]
ასახვის ნამრავლი ველის ელემენტზე განისაზღვროს ტოლობით
[[bn:রৈখিক বীজগণিত]]
(a • f)(x) = a • (f(x))
[[bs:Linearna algebra]]
ადვილი შესამოწმებელია, რომ მივიღეთ წრფივი სივრცე.
[[ca:Àlgebra lineal]]
 
[[cs:Lineární algebra]]
მაგალითი 4.1.5
[[da:Lineær algebra]]
სივრცეში M(B, V) გამოვყოთ ქვესივრცე ასახვებისა რომელთა მნიშვნელობები მხოლოდ სასრულ რაოდენობა არგუმენტზეა ნულისაგან განსხვავებული, თითქმის ყველგან ნულია. აღვნიშნოთ იგი F(B, V)-ით. თუ თვით სიმრავლე B სასრულია, მაშინ, რასაკვირველია, F(B, V) = M(B, V). თვით B განვიხილოთ ჩადგმული ამ სივრცეში: თუ b ∈ B, განვიხილოთ b როგორც ასახვა, რომელიც თვით b-ს შეუსაბამებს ველის ერთიანს, ხოლო ყველა დანარჩენს ნულს. სივრცის F(B, V) ყოველი ელემენტი a: B → V შეგვიძლია წარმოგვიდგინოთ კომბინაციის სახით a = ∑ a(b) • b.
[[de:Lineare Algebra]]
 
[[el:Γραμμική άλγεβρα]]
მაგალითი 4.1.6
[[en:Linear algebra]]
პოლინომთა სიმრავლე წრფივი სივრცის მაგალითია. ავირჩიოთ რაიმე სიმბოლო, ვთქვათ x, და განვიხილოთ ფორმალურ ხარისხთა სიმრავლე X = {x⁰ = 1, x¹ = x, x², x³, . . .}. წრფივი სივრცე F(X, V) იქნება მრავალწევრთა წრფივი სივრცე V[x]. მისი ყოველი ვექტორი a, ანუ ასახვა X-დან V-ში შეიძლება ჩავწეროთ შემდეგი სახით
[[eo:Lineara algebro]]
a₀ + a₁ • x + a₂ • x² + a₃ • x³ + . . .
[[es:Álgebra lineal]]
სადაც
[[et:Lineaaralgebra]]
a₀ = a(1), a₁ = a(x), a₂ = a(x²), a₃ = a(x³), . . .
[[eu:Aljebra lineal]]
ველის V ელემენტებია.
[[fa:جبر خطی]]
 
[[fi:Lineaarialgebra]]
მაგალითი 4.1.7
[[fr:Algèbre linéaire]]
თუ შემოვიფარგლებით მხოლოდ k-ზე ნაკლები ხარისხის მრავალწევრებით, მივიღებთ წრფივ სივრცეს V[x, k]-ს.
[[gan:線性代數]]
V[x, 1] = V, V[x, 2] = {a₁ • x + a₀}, . . .
[[gl:Álxebra lineal]]
 
[[he:אלגברה לינארית]]
თუ მოცემულია გაფართოება V ⊂ W, მაშინ V[x]-ის ელემენტი შეგვიძლია განვიხილოთ როგორც W-დან W-ში ასახვა: W-ს ელემენტ w-ს ანასახი იქნება ველი W-ს ელემენტი რომელიც მიიღება პოლინომში x-ის მაგივრად w-ს ჩასმით. V[x]-ში შეიძლება შემოვიტანოთ გამრავლებაც, როგორც V-დან V-ში ასახვის მნიშვნელობათა გამრავლება, ანუ პოლინომთა ჩვეული მოქმედება. ამ მოქმედებათა მიმართ პოლინომთა სიმრავლე კომუტატური რგოლია. თვით ველი ამ რგოლის ქვერგოლია, როგორც მუდმივ ასახვათა სიმრავლე, ანუ ნულოვანი ხარისხის პოლინომთა სიმრავლე. ამგვარ წარმონაქმნს უწოდებენ ალგებრას აღებული ველის მიმართ.
[[hr:Linearna algebra]]
 
[[hu:Lineáris algebra]]
მაგალითი 4.1.8
[[id:Aljabar linear]]
წრფივი სივრცის კლასიკური მაგალითია ველის ელემენტთა n-ეულების სიმრავლე Vn. თუ ავიღებთ სიმრავლეს B = {1, 2, . . ., n}, მაშინ Vn = F(B, V). ჩვეულებრივ მის ვექტორს, ანუ ასახვას B → V წარმოადგენენ როგორც (u1, u2, . . .). ოპერაციები ასე შეიძლება ჩაიწეროს
[[is:Línuleg algebra]]
(u1, u2, . . .) + (v1, v2, . . .) = (u1 + v1, u2 + v2, . . .)
[[it:Algebra lineare]]
v • (u1, u2, . . .) = (v • u1, v • u2, . . .)
[[ja:線型代数学]]
 
[[ko:선형대수학]]
ყოველივე ზემოდ აღწერილი უნდა დავინახოთ როგორც წრფივი სივრცის მოცემის სხვადასხვა ფორმა. ამ ფორმებს შორის ბუნებრივი შესაბამისობებია. საქმეში უნდა გამოვიყენოთ ის ფორმა რომელიც ყველაზე უფრო მორგებულია განსახილველ საკითხთან.
[[la:Algebra linearis]]
 
[[lt:Tiesinė algebra]]
4.2. ქვესივრცე
[[lv:Lineārā algebra]]
წრფივი სივრცის ქვესიმრავლე თუ სივრცეში განსაზღვრული ოპერაციების მიმართ ჩაკეტილია, მაშინ იგი თვით იქნება წრფივი სივრცე. ამგვარ ქვესიმრავლეს ქვესივრცეს უწოდებენ.
[[mk:Линеарна алгебра]]
 
[[ms:Algebra linear]]
მხოლოდ ნული ერთერთი ქვესივრცეა, ერთადერთი, რომელიც ერთი ვექტორისაგან შესდგება. თვით სივრცეც ფორმალურად თავის თავის ქვესივრცეა. შემდგომში ჩვეულებრივ ქვესივრცედ ამ ქვესივრცეს არ ვიგულისხმებთ.
[[nl:Lineaire algebra]]
 
[[nn:Lineær algebra]]
მაგალითი 4.2.1
[[no:Lineær algebra]]
ყოველი ვექტორი a განსაზღვრავს ქვესივრცეს V • a-ს, რომელშიც ვგულისხმობთ სიმრავლე {v • a}-ს, სადაც v გაორბენს ველი V-ს ყველა ელემენტს.
[[pl:Algebra liniowa]]
 
[[pms:Àlgebra linear]]
მაგალითი 4.2.2
[[pt:Álgebra linear]]
წრფივი სივრცის S ყოველი ქვესიმრავლე B განსაზღვრავს წრფივ სივრცეს F(B, V). თუ ასახვას f: B → V შევუსაბამებთ S-ის ვექტორს ∑f(b) • b მივიღებთ ასახვას F(B, V) → S. გამოსახულებას ∑f(b) • b შეიძლება შევხედოთ როგორც F(B, V)-ის ელემენტს და შეიძლება შევხედოთ როგორც S-ის ელემენტს. ეს ორი ხედვა უნდა განვასხვავოთ. პრიველი ხედვით განსხვავებული გამოსახულება შეიძლება მეორე ხედვით ტოლი აღმოჩდეს. ამ ასახვის ანასახი იქნება S-ის უმცირესი ქვესივრცე რომელიც მოიცავს B-ს. ამ ქვესივრცეს B-თი წარმოქმნილს უწოდებენ და V[B]-თი აღვნიშნავთ.
[[ro:Algebră liniară]]
 
[[ru:Линейная алгебра]]
მაგალითი 4.2.3
[[scn:Algibbra liniari]]
ქვესივრცის კიდევ ერთი მაგალითია V[x, k]. ყოველი k-სათვის ის წრფივი სივრცე V[x]-ის ქვესივრცეა, V[x, k] ⊂ V[x].
[[sh:Linearna algebra]]
 
[[simple:Linear algebra]]
ქვესივრცეთა თანაკვეთა წრფივი ქვესივრცეა. ქვესივრცეთა გაერთიანება არ არის წრფივი სივრცე, ქვესივრცეთა ჯამად ვიგულისხმოთ მათ მომცველ სივრცეთა თანაკვეთა, ანუ უმცირესი ქვესივრცე, რომელიც ყოველი მათგანის მომცველია. წრფივი სივრცის ქვესივრცეთა სიმრავლე ამ ოპერაციებით ჰქმნის სტრუქტურას, რომელსაც მესერს (lattice) უწოდებენ.
[[sk:Lineárna algebra]]
 
[[sl:Linearna algebra]]
4.3 აფინური სივრცე
[[sq:Algjebra lineare]]
განმარტება 4.3.1
[[sr:Линеарна алгебра]]
წრფივი სივრცე S-ის მიმართ აფინურ სივრცეს უწოდებენ სიმრავლე A-ს და მასში განმარტებულ ოპერაციას:
[[sv:Linjär algebra]]
A-ს წერტილს მიმატებული S-ის ვექტორი, თუ
[[ta:நேரியல் இயற்கணிதம்]]
1. ყოველი a-სათვის A-დან და s-სათვის S-დან a + s განმარტებულია და ეკუთვნის A-ს
[[tg:Алгебраи хаттӣ]]
2. ყოველი a და b წერტილებისათვის A-დან არსებობს ერთადერთი ვექტორი S-დან s, რომლისათვისაც a + s = b
[[th:พีชคณิตเชิงเส้น]]
3. (a + s) + t = a + (s + t), ყოველი a-სათვის A-დან და s და t-სათვის S-დან
[[tr:Doğrusal cebir]]
 
[[uk:Лінійна алгебра]]
მაგალითი 4.3.2
[[ur:لکیری الجبرا]]
აფინური სივრცის ყველაზე გავრცელებულ მაგალითს იძლევა ქვესივრცე. ვთქვათ T არის S-ის ქვესივრცე. ავირჩიოთ რაიმე წერტილი S-დან s და განვიხილოთ ყველა ჯამი s + t, სადაც t ეკუთვნის T-ს, ანუ სიმრავლე s + T. ეს სიმრავლე იქნება T-ს მიმართ აფინური სივრცე.
[[vi:Đại số tuyến tính]]
 
[[yi:ליניארע אלגעברע]]
თუ დავუკვირდებით A მიმართებაშია S-თან, როგორც თვით S სივრცე ველთან V. თვით წრფივი სივრცე S, რასაკვირველია, აფინური სივრცის ერთერთი მაგალითია. თუ აფინურ სივრცეში წერტილს დავაფიქსირებთ ამ წერტილს მიმატებული ვექტორები განსაზღვრავს წრფივი სივრცის ურთიერთცალსახა ასახვას აფინურ სივრცეში. ამ ასახვით S შეგვიძლია განვიხილოთ სივრცის A არჩეულ წერტილში მხებ სივრცედ.
[[yo:Áljẹ́brà onígbọrọ]]
 
[[zh:线性代数]]
აფინური სივრცის ყოველ წერტილ a-ზე გამავალი წრფე არის წერტილების a + v • s სიმრავლე, სადაც v გაირბენს ველის ელემენტებს, ხოლო s ფიქსირებული ვექტორია. ორი წრფე {a + v • s} და {b + v • t} პარალელურია თუ მათი განმსაზღვრელი ვექტორები ჯერადია, ანუ t = v • s, რომელიღაც v-სათვის ველიდან. რადგან წერტილთა ყოველი წყვილისათვის a და b არსებობს ერთადერთი ვექტორი s = b - a, გამოდის რომ არსებობს მათზე გამავალი ერთადერთი წრფე {a + v • s}.
 
ასევე შეიძლება განიმარტოს უფრო მაღალი განზომილების ბრტყელი ობიექტი. ყველა ამათგანი აფინური ქვესივრცე იქნება, ოღონდ საკუთარი წრფივი სივრცით. აფინური ქვესივრცის შესაქმნელად საჭიროა გამოვყოთ წრფივი ქვესივრცე და წერტილი.
 
4.4. ფაქტორსივრცე
ავიღოთ S-ში ქვესივრცე T. ნებისმიერი ელემენტისათვის u სივრციდან S განვიხილოთ u + T ქვესიმრავლე. ეს ქვესიმრავლე T-ს მიმართ აფინური სივრცეა. მთელი სივრცე დაიყოფა ურთიერთ არაგადამკვეთ აფინურ სივრცეებად, შრეებად. თუ ვექტორი v შედის u + T შრეში, მაშინ v = u + t, სადაც t ქვესივრცე T-ს ვექტორია. ამიტომ შრეები u + T და v + T ერთი და იგივეა, ანუ u + T = v + T. შრეები ან არ გადაიკვეთება, ან ემთხვევა ერთმანეთს. ერთერთი ამგვარი შრე თვით ქვესივრცე T-ა. ამ შრეთა ერთობლიობა წრფივი სივრცეა ინდუცირებული შეკრებისა და ველის ელემენტზე გამრავლების მიმართ. ამ წრფივ სივრცეს ფაქტორსივრცეს უწოდებენ და აღნიშნავენ S / T-თი.
 
თუ ქვესივრცე R-სა და T-ს თანაკვეთა ნულია, მაშინ R-ს ყოველ შრეში აქვს არა უმეტეს ერთი ელემენტისა. მართლაც, R-ში რომ არსებობდეს ორი განსხვავებული ელემენტი s და r, რომელიც T-ს მიმართ ერთი და იგივე შრეში შედის, მაშინ r - s უნდა ეკუთვნოდეს T-ს, ანუ r - s = 0, r = s. რაც ეწინააღმდეგება დაშვებას. აქედან გამომდინარეობს
 
თეორემა 4.4.1
თუ R და T-ს თანაკვეთა ნულია, მაშინ R-ს შეესაბამება S / T-ში R-ის იზომორფული ქვესივრცე.
 
ავირჩიოთ T-ს დამატება R, ანუ ქვესივრცე, რომელიც T-სთან მხოლოდ ნულით გადაიკვეთება და T-სთან ერთად კი მთელ სივრცეს წარმოქმნის. ქვესივრცის R ყოველ ვექტორს შევუსაბამოთ შრე რომელშიც ის ძევს. ამ თანადობით ფაქტორსივრცის ნულს, ანუ T-ს მხოლოდ R-ის ნული შეესაბამება. ამავე დროს ყოველ შრეში R-ის ერთი ელემენტია, რადგან S-ის ყოველი ელემენტი წარმოიდგინება ჯამად x + u, სადაც x ∈ R და u ∈ T. მივიღეთ ურთიერთცალსახა თანადობა R-ის ელემენტებსა და შრეებს შორის. ეს თანადობა იზომორფიზმია.
20

რედაქტირება