|
[[სურათი:Gradient2.svg|thumb|300px|ამ სურათებზე სკალარული ველი მოცემულია შავ-თეთრი ფერებით, სადაც შავი ფერი შეესაბამება ფუნქციის უდრო დიდ მნიშვნელობებს, ხოლო შესაბამისი ფუნქციის გრადიენტი მოცემულია ლურჯი ისრების მეშვეობით. ]]
==მაგალითები==
==Interpretations==
[[File:Gradient of a Function.tif|thumb|350px|Gradient of the 3-d function <math>f(x,y)= xe^{-x^2 - y^2} </math> is plotted as blue arrows over the [http://www.mathworks.com/help/techdoc/ref/pcolor.html pseudocolor plot] of the function]]
Consider a room in which the temperature is given by a scalar field, <math>T</math>, so at each point <math>(x,y,z)</math>
the temperature is <math>T(x,y,z)</math> (we will assume that the temperature does not change in time). At each point in the room, the gradient of <math>T</math> at that point will show the direction the temperature rises most quickly. The magnitude of the gradient will determine how fast the temperature rises in that direction.
[[სურათი:Gradient of a Function.tif|thumb|350px|სამგანზომილებიანი ფუნქციის <math>f(x,y)= xe^{-x^2 - y^2} </math> გრადიენტი (აღნიშნულია ლურჯი ისრებით).]]
Consider a surface whose height above sea level at a point <math>(x, y)</math> is <math>H(x, y)</math>. The gradient of <math>H</math> at a point is a vector pointing in the direction of the steepest [[slope]] or [[Grade (slope)|grade]] at that point. The steepness of the slope at that point is given by the magnitude of the gradient vector.
განვიხილოთ რაიმე ოთახი, რომელშიდაც [[ტემპერატურა]] განისაზღვრება სკალარული ფუნქციით <math>T</math>, ისე რომ ნებისმიერ <math>(x,y,z)</math> წეტილში [[ტემპერატურა]] არის <math>T(x,y,z)</math>. ოთახის ნებისმიერ წერტილში ტემპერატურის გრადიენტი გვიჩვენებს მიმართულებას, რომლის გასწვრივაც ტემპერატურისცვლილების ტემპი მაქსიმალურია, ხოლო მისი მნიშვნელობა განსაზღვრავს რამდენად სწრაფად იცვლება ტემპერატურა ამ მიმართულებით.
The gradient can also be used to measure how a scalar field changes in other directions, rather than just the direction of greatest change, by taking a [[dot product]]. Suppose that the steepest slope on a hill is 40%. If a road goes directly up the hill, then the steepest slope on the road will also be 40%. If, instead, the road goes around the hill at an angle (the gradient vector), then it will have a shallower slope. For example, if the angle between the road and the uphill direction, projected onto the horizontal plane, is 60°, then the steepest slope along the road will be 20%, which is 40% times the [[cosine]] of 60°.
განვიხილოთ რაიმე ზედაპირი, რომლის სიმაღლე ზღვის დონიდან რაიმე <math>(x, y)</math> წერტილში არის <math>H(x, y)</math>. რაიმე წერტილში <math>H</math> ფუნქციის გრადიენტი არის ვექტორი, რომელიც მიმართულია ამ წერტილში ყველაზე ციცაბო დახრის გასწვრიც.
This observation can be mathematically stated as follows. If the hill height function <math>H</math> is [[differentiable function|differentiable]], then the gradient of <math>H</math> [[dot product|dotted]] with a unit [[Vector (geometric)|vector]] gives the slope of the hill in the direction of the vector. More precisely, when <math>H</math> is differentiable, the dot product of the gradient of <math>H</math> with a given unit vector is equal to the [[directional derivative]] of <math>H</math> in the direction of that unit vector.
==Definition==
| 