წრფივი ალგებრა: განსხვავება გადახედვებს შორის

ვექტორული სივრცის განმარტება და თვისებები.
(-კატ.)
(ვექტორული სივრცის განმარტება და თვისებები.)
'''წრფივი ალგებრა''' — მათემატიკის, უფრო ვიწროდ კი ალგებრის დარგი რომელიც შეისწავლის [[ვექტორი|ვექტორებს]], [[წრფივი სივრცე|ვექტორულ სივრცეებს]] (სხვანაირად წრფივი სივრცე), [[წრფივი გარდაქმნა|წრფივ გარდაქმნებს]] და მსგავს მათემატიკურ [[სტრუქტურა|სტრუქტურებს]]. წრფივი გარდაქმნა განსაკუთრებული ფუნქციაა, რომლის [[მატრიცა|მატრიცის]] მეშვეობით წარმოდგენა ყოველთვის შესაძლებელია. წრფივი ალგებრა თანამედროვე მათემატიკის მნიშვნელოვანი დარგია. ის გამოიყენება წრფივი [[განტოლება|განტოლებების]] [[სისტემა (მათემატიკა)|სისტემის]] ამოსახსნელად, [[აბსტრაქტული ალგებრა|აბსტრაქტულ ალგებრასა]] და [[ფუნქციური ანალიზი|ფუნქციურ ანალიზში]]. წრფივი ალგებრის სტრუქტურების წარმოსახვაში [[ანალიტიკური გეომეტრია]] გვეხმარება. ის ფართოდ გამოიყენება [[ინჟინერია]]ში, [[ფიზიკა]]სა და სხვადასხვა [[მეცნიერება|მეცნიერებებში]].
 
==ძირითადი სტრუქტურები==
===ვექტორული სივრცე===
ვექტორული სივრცე წრფივი ალგებრის ძირითადი სტრუქტურაა. '''ვექტორული სივრცე ''V'' ველზე ''F''''' შედგება სიმრავლისგან, რომელზეც '''შეკრებისა''' და '''სკალარზე გამრავლების''' ოპერაციები განისაზღვრება ისე, რომ
*თუ ''x'' და ''y'' ''V''-ს ელემენტებია, მაშინ ''V''-ში არსებობს ერთადერთი ელემენტი რომელიც (''x''+''y'')-ის ტოლია;
*თუ ''a F''-ის ელემენტია, ''x'' კი — ''V''-ს ელემეტი, მაშინ ''V''-ში არსებობს ერთადერთი ელემენტი, რომელიც ''ax''-ის ტოლია.
დამატებით სამართლიანია შემდეგი:
#თუ ''x'' და ''y V''-ს ელემენტებია, მაშინ ''x''+''y''=''y''+''x'' (შეკრების გადანაცვლებადობა);
#თუ ''x'', ''y'' და ''z'' ''V''-ს ელემენტებია, მაშინ (''x''+''y'')+''z'' = ''x''+(''y''+''z'') (შეკრების ჯუფთებადობა);
#''V''-ს ელემენტია ''0'', რომლისთვისაც ''V''-ს ნებისმიერი ელემენტი ''x'' აკმაყოფილებს პირობას ''x''+0=''x'';
#თუ ''x V''-ს ელემენტია, მაშინ არსებობს ''V''-ს ელემენტი ''y'', რომლისთვისაც ''x''+''y''=''0'';
#თუ ''x V''-ს ელემენტია, მაშინ 1''x''=''x'';
#თუ ''a'' და ''b'' ''F''-ის ელემენტებია, ''x'' კი — ''V''-ს ელემენტი, მაშინ (''ab'')''x''=''a''(''bx'');
#თუ ''a F''-ის ელემენტია, ''x'' და ''y'' კი — ''V''-ს ელემენტი, მაშინ ''a''(''x''+''y'')=''ax''+''ay'';
#თუ ''a'' და ''b F''-ის ელემენტებია, ''x'' კი —''V''-ს ელემენტი, მაშინ (''a''+''b'')''x''=''ax''+''bx''.
(''x''+''y'')-ს ეწოდება ''x''-ისა და ''y''-ის '''ჯამი''', ''ax''-ს კი — ''a''-სა და ''x''-ის '''ნამრავლი'''.
 
ვექტორული სივრცის ელემენტებს ვექტორები ეწოდება, ველის ელემენტებს კი — სკალარები. ამ სტატიაში ვექტორები კურსივით გამოისახება, სკალარები — არა (მაგალითად, ''0'' ვექტორია, 0 კი — სკალარი). ვექტორული სივრცის მე-3 თვისებიდან (ზემოთ) პირდაპირ გამომდინარეობს, რომ ვექტორული სივრცე არასდროს არ შედგება ცარიელი სიმრავლისგან. ელემენტარულად მტკიცდება, რომ მე-3 თვისებაში აღწერილი ვექტორი ''0'' უნიკალურია. აგრეთვე მარტივი დასანახია, რომ მე-4 თვისებაში აღწერილი ვექტორი ''y'' უნიკალურია. დამატებით შეგვიძლია ვაჩვენოთ, რომ ''V''-ს ნებისმიერი ელემენტისთვის ''x'', 0''x''=''0'' და ''F''-ის ნებისმიერი ელემენტისთვის ''a'', ''a0''=''0''.
 
{{მათემატიკის დარგები}}
237

რედაქტირება