სამკუთხედი: განსხვავება გადახედვებს შორის

→‎ძირითადი ნიშნები: ფორმულები გავალატექსე. პლუს მცირე.
(ბოტის შეცვლა: so:Saddax-xagal)
(→‎ძირითადი ნიშნები: ფორმულები გავალატექსე. პლუს მცირე.)
 
== ძირითადი ნიშნები ==
სამკუთხედის ნებისმიერ გარე კუთხე (შიგა კუთხის მოსაზღვრე კუთხე) მისი ორი არამოსაზღვრე შიგა კუთხის [[ჯამი (მათემატიკა)|ჯამის]] ტოლია. [[ევკლიდური გეომეტრია|ევკლიდურ გეომეტრიაში]] ნებისმიერი სამკუთხედის გვერდები და კუთხეები უნდა აკმაყოფილებდეს შემდეგ პირობებს:
* სამკუთხედის შიგა კუთხეების[[კუთხე]]ების ჯამი 180°-ია.
ნებისმიერი სამკუთხედისთვის, მისი გვერდები და კუთხეები აუცილებლად უნდა აკმაყოფილებდეს შემდეგ პირობებს:
* ნებისმიერი ორი გვერდის სიგრძეთა ჯამი მეტია მესამე გვერდის სიგრძეზე. ეს ფაქტი (სამკუთხედის უტოლობის სახელითაა ცნობილიუტოლობა).
* სამკუთხედის შიგა კუთხეების ჯამი 180°-ია.
* ნებისმიერი ორი გვერდის სიგრძეთა ჯამი მეტია მესამე გვერდის სიგრძეზე. ეს ფაქტი სამკუთხედის უტოლობის სახელითაა ცნობილი.
 
სამკუთხედის კუთხეებსა და გვერდებს შორის არსებობს გარკვეული კავშირი. მაგ., თუ ვუდარებთ ორ გვერდს და მათ მოპირდაპირე ორ კუთხეს, მაშინ უდიდესი გვერდის პირდაპირ უდიდესი კუთხე მდებარეობს. საზოგადოდ, სამკუთხედში უფრო დიდი გვერდის პირდაპირ უფრო დიდი კუთხე იმყოფება. ამას ეფუძნება ის, რომ მართკუთხა სამკუთხედში ჰიპოტენუზა უდიდესი გვერდია (მართლაც, მართკუთხა სამკუთხედში უდიდესი კუთხე მართი კუთხეა), ბლაგვკუთხა სამკუთხედში კი - ბლაგვი კუთხის მოპირდაპირე გვერდი.
 
ორ სამკუთხედს ტოლი ეწოდება, თუ მათ აქვთ ერთი და იგივე ძირითადი ელემენტები (სამი გვერდი +და სამი კუთხე). იმისათვის რომ ტოლი სამკუთხედების ტოლობაში დავრწმუნდეთ, არაა საჭირო მათი თითოეული ელემენტის შედარება. უმჯობესია გამოვიყენოთ სამკუთხედების ტოლობის ნიშნები:
* '''I ნიშანი''': #თუ ერთი სამკუთხედის ორი გვერდი და მათ შორის მდებარე კუთხე ტოლია მეორე სამკუთხედის ორი გვერდის და მათ შორის მდებარე კუთხის, მაშინ ეს სამკუთხედები ტოლია.
* '''II ნიშანი''': #თუ ერთი სამკუთხედის ერთი გვერდი და მასთან მდებარე ორი კუთხე ტოლია მეორე სამკუთხედის ერთი გვერდის და მასთან მდებარე ორი კუთხის, მაშინ ეს სამკუთხედები ტოლია.
* '''III ნიშანი''': #თუ ორ სამკუთხედს ერთი და იგივე სიგრძის გვერდები აქვს, მაშინ ეს სამკუთხედები ტოლია.
 
ორ სამკუთხედს ტოლი ეწოდება, თუ მათ აქვთ ერთი და იგივე ძირითადი ელემენტები (სამი გვერდი + სამი კუთხე). იმისათვის რომ ტოლი სამკუთხედების ტოლობაში დავრწმუნდეთ, არაა საჭირო მათი თითოეული ელემენტის შედარება. უმჯობესია გამოვიყენოთ სამკუთხედების ტოლობის ნიშნები:
* '''I ნიშანი''': თუ ერთი სამკუთხედის ორი გვერდი და მათ შორის მდებარე კუთხე ტოლია მეორე სამკუთხედის ორი გვერდის და მათ შორის მდებარე კუთხის, მაშინ ეს სამკუთხედები ტოლია.
* '''II ნიშანი''': თუ ერთი სამკუთხედის ერთი გვერდი და მასთან მდებარე ორი კუთხე ტოლია მეორე სამკუთხედის ერთი გვერდის და მასთან მდებარე ორი კუთხის, მაშინ ეს სამკუთხედები ტოლია.
* '''III ნიშანი''': თუ ორ სამკუთხედს ერთი და იგივე სიგრძის გვერდები აქვს, მაშინ ეს სამკუთხედები ტოლია.
თუ გვინდა ორი მართკუთხა სამკუთხედის ტოლობის ჩვენება, უნდა გავითვალისწინოთ, რომ მათ თითო კუთხე მართი და, შესაბამისად, ტოლი აქვთ. ამასთანაა დაკავშირებული მართკუთხა სამკუთხედების ტოლობის ნიშნები:
* '''I ნიშანი''': #თუ ერთი მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზა და მახვილი კუთხე, შესაბამისად, ტოლია მეორე მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზის და მახვილი კუთხის, მაშინ ეს სამკუთხედები ტოლია.
* '''II ნიშანი''': #თუ ერთი მართკუთხა სამკუთხედის კათეტი და მისი მოპირდაპირე კუთხე, შესაბამისად, ტოლია მეორე მართკუთხა სამკუთხედის კათეტის და მისი მოპირდაპირე კუთხის, მაშინ ეს სამკუთხედები ტოლია.
* '''III ნიშანი''': #თუ ერთი მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზა და კათეტი, შესაბამისად, ტოლია მეორე მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზის და კათეტის, მაშინ ეს სამკუთხედები ტოლია.
 
[[ფაილი:Msgavsi samkutkhedebi.png|thumb|400px|მსგავსი სამკუთხედები.]]თუ მოცემული ორი ABC და A<sub>1</sub>B<sub>1</sub>C<sub>1</sub> სამკუთხედისთვის სრულდება: ∠A=∠A<sub>1</sub>, ∠B=∠B<sub>1</sub> და ∠C=∠C<sub>1</sub>, მაშინ მათ ეწოდებათ მსგავსი სამკუთხედები და ვწერთ: ΔABC~ΔA<sub>1</sub>B<sub>1</sub>C<sub>1</sub>. უნდა გავითვალისწინოთ, რომ ჩანაწერში წვეროების მიმდევრობაში დგას ტოლი კუთხეების შესაბამისი წვეროები. თუ ΔABC~ΔA<sub>1</sub>B<sub>1</sub>C<sub>1</sub>, A და A<sub>1</sub>, B და B<sub>1</sub>, C და C<sub>1</sub> წვეროებს შესაბამისი ეწოდებათ. შესაბამისი წვეროებისგან შედგენილ გვერდებსაც შესაბამისი გვერდები ეწოდებათ.
[[ფაილი:Msgavsi samkutkhedebi.png|thumb|400px|მსგავსი სამკუთხედები.]]
მსგავს სამკუთხედებში შესაბამისი გვერდების შეფარდება მუდმივი სიდიდეა, რომელსაც მსგავსების ან პროპორციულობის კოეფიციენტი ეწოდება. მაგ., თუ ΔABC~ΔMNK, მაშინ არსებობს ''k''≠0 მსგავსების კოეფიციენტი, რომლისთვისაც <math> {AB \over MN}={BC \over NK}={AC \over MK}=k </math>, ანუ AB=''k''MN, BC=''k''NK, AC=''k''MK. ასე რომ, სამკუთხედების ტოლობა სამკუთხედების მსგავსების კერძო შემთხვევაა მსგავსების კოეფიციენტით 1.
 
თუ მოცემული ორი ''ABC'' და ''A''<sub>1</sub>''B''<sub>1</sub>''C''<sub>1</sub> სამკუთხედისთვის სრულდება:
:<math>\angle A = \angle A_1,</math>
:<math>\angle B = \angle B_1</math> და
:<math>\angle C = \angle C_1,</math>
მაშინ მათ ეწოდება [[მსგავსება (გეომეტრია)|მსგავსი სამკუთხედები]] და ვწერთ:
:<math>\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1.</math>
უნდა გავითვალისწინოთ, რომ ჩანაწერში წვეროების მიმდევრობაში დგას ტოლი კუთხეების შესაბამისი წვეროები. თუ
:<math>\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1,</math> მაშინ
*<math>A \!</math> და <math>A_1, \!</math>
*<math>B \!</math> და <math>B_1, \!</math>
*<math>C \!</math> და <math>C_1, \!</math>
შესაბამისი წვეროების წყვილებია. შესაბამისი წვეროებისგან შედგენილ გვერდებს შესაბამისი გვერდები ეწოდება.
 
მსგავს სამკუთხედებში შესაბამისი გვერდების შეფარდება მუდმივი სიდიდეა, რომელსაც მსგავსების ან პროპორციულობის კოეფიციენტი ეწოდება. მაგ., თუ ΔABC~ΔMNK, მაშინ არსებობს ''k''≠0 მსგავსების კოეფიციენტი, რომლისთვისაც <math> {AB \over MN}={BC \over NK}={AC \over MK}=k </math>, ანუ AB=''k''MN, BC=''k''NK, AC=''k''MK. ასე რომ, სამკუთხედების ტოლობა სამკუთხედების მსგავსების კერძო შემთხვევაა მსგავსების კოეფიციენტით 1.
:<math>\triangle ABC \sim \triangle MNK,</math>
მაშინ არსებობს მსგავსების კოეფიციენტი <math>k \neq 0,</math> რომლისთვისაც
:<math> {AB \over MN}={BC \over NK}={AC \over MK}=k.</math>
ასე რომ, სამკუთხედების ტოლობა სამკუთხედების მსგავსების კერძო შემთხვევაა მსგავსების კოეფიციენტით 1.
 
სამკუთხედების მსგავსების დასადგენად გამოიყენება სამკუთხედების მსგავსების ნიშნები:
* '''I ნიშანი''': #თუ ერთი სამკუთხედის ორი კუთხე, შესაბამისად, ტოლია მეორე სამკუთხედის ორი კუთხის, მაშინ ეს სამკუთხედები მსგავსია.
* '''II ნიშანი''': #თუ ერთი სამკუთხედის ორი გვერდი, შესაბამისად, პროპორციულია მეორე სამკუთხედის ორი გვერდის და ამ გვერდებით შედგენილი კუთხეები ტოლია, მაშინ ეს სამკუთხედები მსგავსია.
* '''III ნიშანი''': #თუ ერთი სამკუთხედის გვერდები, შესაბამისად, პროპორციულია მეორე სამკუთხედის გვერდების, მაშინ ეს სამკუთხედები მსგავსია.
 
რადგან მართკუთხა სამკუთხედებს თითო კუთხე მართი და, შესაბამისად, ტოლი აქვთ, მათთვის სამკუთხედების მსგავსების პირველი ორი ნიშანი შემდეგია:
* '''I ნიშანი''':# მართკუთხა სამკუთხედები მსგავსია, თუ მათ თითო მახვილი კუთხე ტოლი აქვთ.
* '''II ნიშანი''': #მართკუთხა სამკუთხედები მსგავსია, თუ ერთი მათგანის კათეტები მეორეს კათეტების პროპორციულია.
 
[[ფაილი:Samkutkh_paral_msgavseba.png|thumb|240px|სამკუთხედის ერთ-ერთი გვერდის პარალელური წრფით დანარჩენი ორი გვერდის გადაკვეთისას მოცემული სამკუთხედის მსგავსი სამკუთხედი „ჩამოიჭრება“.]]სამკუთხედების მსგავსებასთანაა დაკავშირებული მისი ერთი თვისება: ნებისმიერ სამკუთხედში რომელიმე გვერდის პარალელური და დანარჩენი ორი გვერდის გადამკვეთი წრფით მიღებული სამკუთხედი მოცემული სამკუთხედის მსგავსია.
[[ფაილი:Samkutkh_paral_msgavseba.png|thumb|240px|სამკუთხედის ერთ-ერთი გვერდის პარალელური წრფით დანარჩენი ორი გვერდის გადაკვეთისას მოცემული სამკუთხედის მსგავსი სამკუთხედი „ჩამოიჭრება“.]]
 
[[ფაილი:Samkutkh_paral_msgavseba.png|thumb|240px|სამკუთხედის ერთ-ერთი გვერდის პარალელური წრფით დანარჩენი ორი გვერდის გადაკვეთისას მოცემული სამკუთხედის მსგავსი სამკუთხედი „ჩამოიჭრება“.]]სამკუთხედების მსგავსებასთანაა დაკავშირებული მისი ერთი თვისება: ნებისმიერ სამკუთხედში რომელიმე გვერდის პარალელური და დანარჩენი ორი გვერდის გადამკვეთი წრფით მიღებული სამკუთხედი მოცემული სამკუთხედის მსგავსია.
 
მსგავსი სამკუთხედების [[პერიმეტრი|პერიმეტრების]] (ისევე, როგორც მედიანების, ბისექტრისების და სიმაღლეების) შეფარდება მსგავსების კოეფიციენტის ტოლია, [[ფართობი|ფართობების]] შეფარდება კი - მსგავსების კოეფიციენტის კვადრატის.<br />მართკუთხა სამკუთხედების უმნიშვნელოვანესი თვისებაა, რომ ჰიპოტენუზის კვადრატი კათეტების კვადრატების ჯამის ტოლია. ეს დებულება [[პითაგორას თეორემა|პითაგორას თეორემის]] სახელითაა ცნობილი. საზოგადოდზოგადად:
* თუ სამკუთხედის ერთი გვერდის კვადრატი დანარჩენი ორი გვერდის კვადრატების ჯამის ტოლია, ეს სამკუთხედი მართკუთხაა (პითაგორას თეორემის შებრუნებული თეორემა).
* თუ სამკუთხედის ერთი გვერდის კვადრატი დანარჩენი ორი გვერდის კვადრატების ჯამზე მეტია, ეს სამკუთხედი ბლაგვკუთხაა.
237

რედაქტირება