კოშის ამოცანა

კოშის ამოცანა — დიფერენციალური განტოლებების თეორიის ერთ-ერთი ძირითადი ამოცანა, რომელიც სისტემატურად პირველად ო. კოშიმ შეისწავლა;

ამოცანის არსია მოიძებნოს ${\frac {\partial ^{m}u}{\partial _{t}^{m}}}=F\left(t,x,u,...,{\frac {\partial ^{m_{0}+m_{1}+...+m_{n}}u}{\partial _{t}^{m_{0}}\partial _{x_{1}}^{m_{1}}...\partial _{x_{n}}^{m_{n}}}}\right),(1)$

დიფერენციალური განტოლების ისეთი $u(x,t),x=(x_{1},...,x_{n})$ ამონახსენი, რომელიც აკმაყოფილებს ე. წ. სასაზღვრო პირობებს:

${\frac {\partial ^{k}u}{\partial _{t}^{k}}}=f_{k}(x),t=t_{0},x\in G_{0},k=0,1,...,m-1,(2)$

სადაც $G_{0}$ არის საწყისი მნიშვნელობის მატარებელი $-x_{1},x_{2},...,x_{n}$ ცვლადი სივრცის $t=t_{0}$ ჰიპერსიბრტყის არე. როდესაც $F$ და $f_{k},k=0,1,...,m-1$ თავთავიანთი არგუმენტების ანალიზური ფუნქციებია, კოშის $(1)$, $(2)$ ამოცანას $t,x$ ცვლადების სივრცის $G_{0}$ არის მომცველ რომელიმე $G$ არეში ყოველთვის აქვს ამონახსნი, ამასთან მხოლოდ ერთი. მაგრამ ეს ამონახსნი შეიძლება არ იყოს მდგრადი (ე. ი. საწყისი პირობების მცირე ცვლილებამ შეიძლება გამოიწვიოს ამონახსნის დიდი ცვლილება), მაგალითად, იმ შემთხვევაში, როდესაც $(1)$ განტოლება ელიფსური ტიპისაა. როცა პირობები არაანალიზურია, კოშის $(1)$, $(2)$ ამოცანამ შეიძლება დაკარგოს აზრი, თუ არ შემოვიფარგლებით იმ შემთხვევით, როდესაც $(1)$ განტოლება ჰიპერბოლური ტიპისაა.

ლიტერატურა

• ქართული საბჭოთა ენციკლოპედია, ტ. 6, თბ., 1983. — გვ. 6.